matematikk.net

Sliter med denne:

La [tex]f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 1[/tex]. Finn [tex]\delta > 0[/tex] slik at:

[tex]\left| f^,(x) - \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right| \underline{<} \frac{1}{100}[/tex]

for alle h med [tex]|h| < \delta[/tex] og [tex]x \in [-\frac{1}{2} \ , \ \frac{1}{2}][/tex]

Tenkte først at man kunne benytte seg av at: [tex]\frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}[/tex] men ser jo at [tex]x_1[/tex] ikke er med i uttrykket.

Noen hint for hvordan man går videre på denne oppgaven?

Skriv ut uttrykket f'(x)-(f(x+h)-f(x))/h:

f'(x)=x²-2x,

f(x+h)=(1/3)*(x+h)³-(x+h)²+1=(1/3)*(x³+3x²h+3xh²+h³)-(x²+2hx+h²)+1

=1/3x³+x²h+xh²+1/3h³-x²-2hx-h²+1

Så f(x+h)-f(x) blir x²h+xh²+1/3h³-2hx-h²

Og (f(x+h)-f(x))/h blir da lik x²+xh+1/3h²-2x-h.

Dermed er f'(x)-(f(x+h)-f(x))/h=xh+1/3h²-h

Nå skal altså |xh+1/3h²-h| være mindre eller lik 1/100 når |h| er mindre enn delta og |x| er mindre enn 1/2.

Her ville jeg bruke trekantulikheten:

|xh+1/3h²-h| <=|xh|+1/3|h²|+|h|

Og det siste uttrykket er altså mindre enn 1/2*delta +1/3*(delta)²+delta.

Ser du nå hvordan du skulle velge delta?