matematikk.net

Hei, vi er noen stykker som sliter litt med ei oppgave vi har fått.

1)La [tex]$P$[/tex] være et polynom med reelle koeffesienter. Vis at
dersom [tex]$P(z)=0$[/tex], så er også [tex]$P(\overline{z})=0$[/tex].
Dette betyr at alle komplekse røtter kommer i komplekskonjugerte par


2)
Vi sier at [tex]$z_{0}$[/tex] er en m-dobbel rot av [tex]$P$[/tex], dersom [tex]$P(z)=(z-z_{0})^{m}Q(z)$[/tex],
der [tex]$Q(z)$[/tex] er et polynom som ikke er null i [tex]$z_{0}$[/tex]. Vis at dersom [tex]$z_{0}$[/tex]
er en dobbel rot i [tex]$P$[/tex], så er [tex]$z_{0}$[/tex] også rot i den deriverte av [tex]$P$[/tex].

Håper det er noen som kan hjelpe oss med dette relativt raskt.

På forhånd takk for hjelp.

1) Det er bare å komplekskonjugere hele polynomet og bruke regler om at komplekskonjugerte til sum er summen av de komplekskonjugerte, komplekskonjugerte til et produkt er produktet av komplekskonjugerte osv. Selvsagt får du bruk for at konjugerte til et reelt tall fremdeles er reelt.

2) Her er det bare å derivere vha produktregelen. Faktoren [tex](z-z_0)[/tex] vil forekomme i begge ledd, slik at [tex]z=z_0[/tex] blir et nullpunkt.