Bevisføring: 2 rasjonale tall = rasjonalt tall

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Nunyah
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 10
Joined: 07/10-2006 17:42

Er det noen som har et tips om hvordan jeg kan bevise at summen av 2 rasjonale tall er rasjonalt?
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Vært borti induksjon? Det kan vel brukes, men vet ikke om det er vgs-pensum.
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

Vel, hvis du går ut ifra at:
- Produktet av to hele tall er et helt tall
- Summen av to hele tall er et helt tall
- Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk bestående kun av hele tall.

Så er dette ganske enkelt.

Anta to rasjonale tall, [tex]x=\frac{a}{b}[/tex], og[tex] y=\frac{p}{q}[/tex], hvor [tex]a,b,p,q \in \mathbb{Z}[/tex] og følgelig [tex]x,u \in \mathbb{Q}[/tex]

Da vil summen av disse være: [tex]x+y=\frac{a}{b}+\frac{p}{q}[/tex]

Vi faktoriserer ved å finne fellesnevner (elementær algebra):

[tex]x+y=\frac{aq+bp}{qb}[/tex]

Ved antakelsene vi startet med har vi at aq+bp er lik et helt tall, og at qb er lik et helt tall. Et helt tall, delt på et helt tall er rasjonalt, thus, x+y er rasjonalt.
Nunyah
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 10
Joined: 07/10-2006 17:42

Har ikke vært borti det, nei, men med mindre det er veldig komplekst, kan jeg muligens lære det? Er nok ikke måten det er ment jeg skal løse oppgaven på, dog..
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Et lite oppfølgningsspørsmål til deg Jarle10.

Kan irrasjonale tall skrive som en brøk bestående av flere ledd?

F.eks:

[tex]\frac{\sqrt{3} - 2}{2+\sqrt{3}} - \frac{1}{2}[/tex] ?

Eller må de kun skrives som [tex]e, \ \pi \ \sqrt{2}[/tex] osv.?
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

Hmm,

Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt? eller er dette hva vi skal bevise?

Hmm, ditt eksempel kan forkortes til:

[tex]\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}-\frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} -\frac{1}{2}= \frac{7+2\sqrt{3}}{-1}-\frac{1}{2}= -\frac{15+4\sqrt{3}}{2} = -(\frac{15}{2}+2\sqrt{3})[/tex]

Og hvis vi går ut ifra antakelsene så kan det det? Men jeg er usikker på om vi kan anta det.
Last edited by Charlatan on 16/10-2007 22:39, edited 4 times in total.
Nunyah
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 10
Joined: 07/10-2006 17:42

Fint utført, Jarle10. Problemet mitt med bevisregning er å komme frem til utførelsen. :(
arildno
Abel
Abel
Posts: 684
Joined: 17/03-2007 17:19

Jarle10 wrote:Hmm,

Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt,
Ellers ville differansen mellom "svaret" og det rasjonale tallet blitt rasjonalt..
at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt,
Ellers ville forhold mellom "svaret" og det rasjonale tallet vært rasjonalt..
og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt?
Ellers ville produktet mellom det rasjonale tallet og "svaret" vært rasjonalt..
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Så mao., det tallet jeg postet _er_ et irrasjonellt tall?
Charlatan
Guru
Guru
Posts: 2499
Joined: 25/02-2007 17:19

Jepp, det må være det etter antakelsene (som arildno så fint beviste)
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Okei, takk skal du/dere ha :P
Post Reply