matematikk.net

Har igjen EN oppgave som jeg trøbler litt med:

"Vi lar funksjonen f(x) = -50x + 3000 være definert for heltallige x-verdier fra x=1 til x=60. Finn summen av de 60 funksjonsverdiene.

Hvilken formel skal jeg bruke her da? Har prøvd med de fleste, får ikke rett svar. FASIT: 88500

Du ser at verdien blir:
[tex]f(1) + f(2) + ... + f(60) \\= (-50\cdot 1 + 3000) + (-50\cdot 2 + 3000) + ... + (-50\cdot 60 + 3000)[/tex]

Prøv å skrive det om, og la aritmetiske rekker befinne seg i bakhodet.

Jeg har aldri prøvd meg på rekker før (går R1, så cut me some slack ), men har kommet frem til følgende:

[tex]\sum_{n=1}^{60}{f(n)} = \sum_{n=1}^{60}{-50n+3000}[/tex]

Her er 3000 et konstantledd (som ikke blir endret i sammenheng med n), og kan derfor settes ut som en multiplikasjon (3000+3000+...+3000 = 60*3000).

[tex]60 \cdot 3000 + \sum_{n=1}^{60}{-50n}[/tex]

Her kan faktoren foran n settes ut, da den heller ikke endrer seg i henhold til n:

[tex]60 \cdot 3000 -50 \cdot \sum_{n=1}^{60}{n}[/tex]

Da ser du at du kan bruke følgende formel:

[tex]\sum_{n=1}^{k}{n} = \frac {k(k+1)} 2[/tex]

Du får altså:

[tex]60 \cdot 3000 - 50 \cdot \frac {60 \cdot 61} 2 = 88500[/tex]

Summen du brukte for den aritmetiske følgen [tex]u_n = n[/tex] gjelder også for alle aritmetiske rekker. De er på formen [tex] u_n = u_1+(n-1)d[/tex] Hvor [tex]u_n[/tex] er den generelle formelen for ledd nr. n, [tex]u_1[/tex] er den første verdien av følgen [tex]u_n[/tex], og [tex]d[/tex] er differansen
Summen, [tex]s_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)[/tex]
Du kan se på summen av funksjonsverdien for heltallige x fra 1 til 60 som en aritmetisk rekke siden funksjonen er på den formen.

Da er det bare å sette inn.

Ah, det var litt lettere ja

EDIT: Syns rekker og følger er et veldig interessant tema. Har du/dere noen tips til nettsider / lesestoff om dette?

Dette må jeg virkelig si jeg ikke skjønte en verdens ting av.

Det jeg har lært er at "Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke" er:

[tex]s_n={{a_1+a_n}\over{2}}+n[/tex]

Men når jeg tar å bruker formelen til jarle10 så blir alt rett:
[tex]S_n = n/2 * (U1 + U2) [/tex]

s_60 = 60/2 * (2950 + 0) = 88500 !!

Da lurer jeg meg virkelig på: Hvorfor i all verden kan jeg ikke bruke den formelen som står oppskrevet i matteboka vår da?? (den jeg skrev først i innlegget her) Dette er til å bli irritert av!

Kan da umulig plutselig bare bli en helt ny formel for summen av aritmetiske rekker?

EDIT: RIKTIG FORMEL ER (SELVFØLGELIG)
[tex]s_n={{a_1+a_n}\over{2}}*n[/tex]

*slår seg selv*

Skammelig, jeg leste + isteden for * på formelen min selv!!

Det er for sent nå, god natt! Lev vel.

Vel, det er ikke vanskelig å bevise formelen for summen av en aritmetisk rekke. (Bruk at [tex]s_n=u_1+(u_1+d)+(u_1+2d) +...+u_n[/tex], og at [tex]s_n=u_n+(u_n-d)+(u_n-2d)+...+u_1[/tex]) Så ligger resultatet rett om hjørnet.

Jeg tror den letteste måten å bevise formelen på er å tenke gjennomsnitt. Feks hvis vi skal finne summen av 5+6+...+10, så blir gjennomsnittet av disse leddene (5+10)/2 (tenk trapes), så multipliserer vi gjennomsnittet med antall ledd, som i dette tilfelle er 6.

Det er vel strengt tatt samme tenkemåte som gjelder for dette beviset.