matematikk.net

her er en oppgave jeg sliter med.

Suppose that the gas in a circular cylinder of cross-sectional area A is beeing compressed by a piston. If p is the pressure of the gas in pounds per square inch and V is the volume in cubic inches, show that the work done in compressing the gas from state [tex](p_1 , v_1)[/tex] to state [tex](p_2 , v_2)[/tex] is given by the equation

Work = [tex]\int_{(p_1 , v_1)}^{(p_2 , v_2)} p dV[/tex]

(Hint: in the coordinates suggested in the figure here, dV = A dx. The force against the piston is pA.)

Physical Chemistry, termodynamics;

Noe i den duren

[tex]{\rm dV}=A{\rm dx}[/tex]

[tex]p=\frac{F}{A}=\frac{F{\rm dx}}{{\rm dV}}[/tex]

[tex]p{\rm dV}=F{\rm dx}[/tex]

[tex]W\,=\,\int_1^2 F\,{\rm dx}\,=\,\int_1^2 p\,{\rm dV}[/tex]

ah, i see, takk

står at vi skal bruke integralet for å finne arbeidet som skal til for å presse gassen fra [tex]V_1 = 243 in.^3[/tex] til [tex]V_1 = 32 in.^3[/tex]

det skjønner jeg.. men så sier de:

if [tex]p_1=50 lb/in.^3[/tex] and p and V obey the gas law
[tex]pV^{1.4}[/tex] = constant (for adiabatic processes).

Hva menes med dette?

Tja, det som står der? For adiabatiske prosesser gjelder det at [tex]PV^\gamma = \text{konstant}[/tex], der [tex]\gamma[/tex] er en konstant som avhenger av mediet. I tilfellet ditt er [tex]\gamma[/tex] 1.4

Så hvis du har to tilstander [tex](P_1,V_1), (P_2,V_2)[/tex] så vet du at [tex]P_1V_1^{1.4} = P_2V_2^{1.4}[/tex]

Så for å finne arbeidet

Work = [tex]\int_{(p_1 , v_1)}^{(p_2 , v_2)} p dV[/tex]

Work = [tex] p \int_{(p_1 , v_1)}^{(p_2 , v_2)} dV = [pV]_{(p_1 , v_1)}^{(p_2 , v_2)}[/tex]

er jeg helt på jordet? =P jeg skjønner ikke hva vi skal med grenseverdiene.. og hva p er.

er det meningen av vi skal tenke på grenseverdiene som:

[tex]P_1V_1^{1.4} = P_2V_2^{1.4}[/tex]

[tex]\frac{P_1V_1}{V_2} = P_2 [/tex]

[tex]V_1 =\frac{P_2V_2}{P_1}[/tex]

[tex]V_2 =\frac{P_1V_1}{P_2}[/tex]

så

Work = [tex] [pV]_{V_1}^{V_2} = [pV]_{243}^{32} = -211p[/tex]

eller? =/

[tex]p_2\,=\,\frac{p_1V_1^{\gamma}}{V_2^{\gamma}}\,=\,\frac{a}{V_2^{\gamma}}[/tex]


[tex]W\,=\,\int_1^2 p{\rm dV}\,=\,a\int_1^2\frac{{\rm dV}}{V_2^{\gamma}}\,=\,\frac{a}{1-{\gamma}}[\frac{1}{V_2^{{\gamma}-1}}\,-\,\frac{1}{V_1^{{\gamma}-1}}][/tex]

[tex]W\,=\,\frac{1}{1-{\gamma}}[\frac{p_1V_1^{\gamma}}{V_2^{{\gamma}-1}}\,-\,\frac{p_1V_1^{\gamma}}{V_1^{{\gamma}-1}}]\,=\,\frac{1}{1-{\gamma}}[\frac{p_1V_1^{\gamma}}{V_2^{{\gamma}-1}}\,-\,p_1V_1][/tex]

--------------------------------------------------------------------------
edit:
adiabatisk prosess betyr at q = 0, der q er varme. Dvs ingen varmeutveksling mellom systemet og omgivelsene. Slik at termodynamikkens 1. lov gir:[tex]\;\Delta U=q\,+\,w=w\;[/tex] i en adiabatisk prosess. Der [tex]\;\Delta U\;[/tex] er endring i indre energi.

tusen takk for hjelpen

men jeg bare lurte på integraldelen. skal det være

[tex]\frac{1}{1-{\gamma}} [/tex]

eller

[tex]\frac{1}{1+{\gamma}} [/tex]

ble litt usikker der hehe

terje1337 wrote:tusen takk for hjelpen
men jeg bare lurte på integraldelen. skal det være
[tex]\frac{1}{1-{\gamma}} [/tex]
eller
[tex]\frac{1}{1+{\gamma}} [/tex]
ble litt usikker der hehe

Blir som jeg skrev, fordi:

[tex]W\,=\,\int \frac{{\rm dV}}{V^{\gamma}}\,=\,\int V^{-\gamma}{\rm dV}\,=\,\frac{1}{1-{\gamma}}\,V^{1-{\gamma}}\,+\,C\,=\,\frac{1}{1-{\gamma}}\,(\frac{1}{V^{\gamma-1}})\,+\,C[/tex]

Adiabatisk arbeid er negativt. [tex]\;\gamma=1,4\;[/tex]

[tex]\frac{1}{1-{\gamma}}=\frac{1}{1-1,4}=-2,5[/tex]

hvilket impliserer at W < 0.