matematikk.net

Heisann

Jeg har det lille problemet at jeg ikke forstår grunnprinsippet i noen deler av Algebra. Ville vært fint om noen kunne forklare rundt følgende punkter:

Algebra: Ganging med 2 parenteser. ( F.eks: (2x-3)(2y+2x)

Algebra: Grunnprinsippet bak bokstavene.

Hvordan det går med dem:
x * x = x[sup]2[/sup]
x[sup]2[/sup] * 4 = ?
x[sup]2[/sup] * 4y = ?

Og hvordan noen svar blir 2x[sup]2[/sup] eller 2xy ?

Vil helst ha forklaring, ikke bare svarene.

Vil også vite om:

(6x - 3)*(5y - x) = 6x - 3 * 5y - x = "6x2 + 5y -3x"
Eller
= "35xy -3x"

mvh. ravern

Jeg kan prøve å utdype.

Algebra er en formalisering av matematiske uttrykk. Vi kan skrive generelle uttrykk for ting, som formler, der vi bruker bokstaver i stedet for tall. Bokstavene er ment for å stå for en uviss verdi, som vi senere kan sette inn for bokstaven i uttrykket.

Når vi rekner med slike bokstavuttrykk, bruker vi i grunn de samme reglene som for vanlig tallrekning, men kan ikke gjøre de samme forenklingene som vi kan med tall -- vi kan f.eks. ikke rekne ut noe, siden vi ikke vet hvilke tall vi opererer med. Men det er viktig å vite at alle reglene man lærer for algebrarekning er de samme som for tall.

Når du ganger to paranteser med hverandre, ganger du hvert ledd i den ene med hvert ledd i den andre, og husker på å få med rett fortegn:

[tex](2x-3)(2y+2x) = 2x \cdot 2y + 2x \cdot 2x - 3 \cdot 2y - 3 \cdot 2x = 4xy + 2x^2 - 6y - 6x[/tex]

Jeg vet ikke helt hva du mener her:

x * x = x2
x2 * 4 = ?
x2 * 4y = ?

Selv om du sikkert vet det så vil [tex]x^2[/tex] si at tallet x skal ganges med seg selv to ganger. Det er akkurat det samme som med gitte tall, men da skriver vi som regel resultatet av potensen: [tex]3^2 = 3 \cdot 3 = 9[/tex].

De to siste der kan vi i grunn ikke skrive på noen forenklet måte, annet enn å skrive de på en mer konvensjonell måte. [tex]x^2 \cdot 4 = 4x^2[/tex]. Merk at det eneste som er gjort her er å flytte den siste faktoren, 4, foran x. Det har vi lov til siden det er det samme hvilket tall som kommer først og sist i en multiplikasjon. Husk at når det står et tall foran x, er det fortsatt bare en helt vanlig faktor. Om du vil kan du skrive et gangetegn mellom, men det er standard notasjon å ikke gjøre det.

I den siste der kan vi heller ikke gjøre noe mer.

Er ikke helt med på hva du mener med hvordan noen svar blir [tex]2x^2[/tex] eller 2xy. Du kan f.eks. få [tex]2x^2[/tex] slik: [tex]2(x^2 + 2) = 2 \cdot x^2 + 2 \cdot 4 = 2x^2 + 4[/tex], og [tex]2xy[/tex] kan du få på en lignende måte: [tex]x(3 + 2y) = 3x + x \cdot 2y = 3x + 2xy[/tex].

[tex](6x-3)(5y-x) = 6x \cdot 5y + 6x \cdot -x - 3 \cdot 5y - 3 \cdot -x = 30xy - 6x^2 - 15y + 3x[/tex]

Advarsel: trøtthet kan ha ført til reknefeil

Ganging med to paranteser

Regelen sier at du skal gange alle ledd i første parantes med alle ledd i andre parantes. Det er naturligvis helt essensielt å vite hva et ledd er og hva som skiller de. Et ledd er et matematisk uttrykk som adderes eller subtraheres. Leddene separeres av plusstegn eller minustegn. Her følger et eksempel med to ledd.

[tex]\frac{4}{45} + 4[/tex]

[tex]\frac{4}{45}[/tex] er et ledd, og [tex]4[/tex] er et annet ledd.

Eksempel: [tex](x - 1)(x + 4)[/tex]

Steg for steg løsning.

• Gang 1. ledd i 1. parantes ([tex]x[/tex]) med 1. ledd i 2. parantes (også [tex]x[/tex])
• Gang 1. ledd i 1. parantes ([tex]x[/tex]) med 2. ledd i 2. parantes ([tex]4[/tex])
• Gang 2. ledd i 1. parantes ([tex]-1[/tex]) med 1. ledd i 2. parantes ([tex]x[/tex])
• Gang 2. ledd i 1. parantes ([tex]-1[/tex]) med 2. ledd i 2. parantes ([tex]4[/tex])

Alle sluttuttrykkene fra gangeoperasjonene skal legges sammen eller trekkes ifra avhengig av fortegnene til leddene.

[tex]++ =+ \\ +-=-\\--=+\\-+=-[/tex]

Svaret på eksempelet blir da som følger.

[tex]x \cdot x + x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 \\ x^2 + 3x - 4[/tex]

Bokstaver

Populært kalt variabler. En bokstav representerer èn verdi ellet ett utrykk. I algebra, likninger og matematikk generelt vil f.eks. [tex]x[/tex] kun ha èn verdi i en utregning. I en annen oppgave kan [tex]x[/tex] forekomme igjen, men da med annen verdi. Det er samtidig viktig å skille bokstavene. To forskjellige bokstaver har som oftest forskjellige verdier, vi antar hvertfall alltid det. For å forstå oppgavene du sier du er usikker på må du først forstå potenser.

En potens i matematikken er en funksjon som uttrykkes som et grunntall opphøyd i en eksponent. En potens med grunntall [tex]a[/tex] og eksponent [tex]b[/tex] skrives som følger.

[tex]a^b[/tex]

En potensfunksjon forklares enklest som tallet multiplisert med seg selv et antall ganger slik at antall faktorer er lik eksponenten.

[tex]4^2 = 4 \cdot 4 \\ 12^5 = 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12[/tex]

Dette gjelder også for bokstavuttrykk.

[tex]x^2 = x \cdot x \\ x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x[/tex]

Når en ganger legger man sammen alle faktorene i begge utttrykk. [tex]4x^2 \cdot 2x[/tex] er derfor det samme som [tex]4 \cdot x \cdot x \cdot 2 \cdot x[/tex], som igjen blir [tex]8x^3[/tex].

[tex]x \cdot x = x^2 \\ x^2 \cdot 4 = x \cdot x \cdot 4 = 4x^2 \\ x^2 \cdot 4y = x \cdot x \cdot 4 \cdot y = 4yx^2[/tex]

Tommelfingerregel - skriv tall først, deretter variabler med lavest eksponent og variabler med høyest eksponent til slutt. [tex]4xy^2[/tex] er med andre ord det samme som [tex]x4y^2[/tex], men vi skriver alltid førstnevnte.

Takker, tror jeg fikk det med meg nå.