matematikk.net

vi skal finne massesenteret av en tynn plate av konstant massetetthet.


Området som er avgrenset av parabelen [tex]y=x-x^2[/tex]
og lina [tex]y=-x[/tex]

Går fram for å finne for å finne momentet om x-aksen, så Massen.

vi forestiller oss vertikale striper med masse og summerer de.

Lengden: [tex]x-x^2 -(-x)=2x-x^2[/tex]
Bredden: dx
Areal: [tex]dA=(2x-x^2)dx[/tex]
Masse:[tex]dm=dA \delta=\delta(2x-x^2)dx [/tex]

Distanse fra m.s til x-akse er lengde delt på 2: [tex]\tilde y =\frac{2x-x^2}{2}[/tex]

Moment om x akse:

[tex]\tilde y dm= \frac{2x-x^2}{2} * \delta (2x-x^2)dx= \frac{\delta}{2} (2x-x^2)^2 dx [/tex]

Vi summerer:

[tex]M_x = \int_0^2 \tilde y dm=\int_0^2 \frac{\delta}{2} (2x-x^2)^2 dx [/tex]

Behandler [tex]\frac{\delta}{2}[/tex] som konstant.

[tex]M_x = \frac{\delta}{2} \int_0^2 (4x^2 -4x^3 + x^4) dx [/tex]
[tex]M_x = \frac{\delta}{2} [\frac{4}{3}x^3 - x^4 + \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \delta *\frac{8}{15}[/tex]

Massen M:

[tex]M = \int_0^2 dm = \delta \int_0^2 2x-x^2 dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = \delta * \frac{4}{3}[/tex]

Moment om x aksen:

[tex]{\,\bar y} = \frac{M_x}{M} = \frac{\frac{8}{15}\delta}{\frac{4}{3}\delta} = \frac{2}{5} [/tex]

Fasiten sier:

[tex]{\,\bar y} = -\frac{3}{5} [/tex]

Vet ikke hva jeg har gjort feil her..

distansen fra massesenteret til stripen til x-aksen blir feil ser jeg..

Hvordan kan vi utrykke dette da?

fant ut at d ble

[tex]\tilde y = -x + \frac{2x-x^2}{2}[/tex]