matematikk.net

a) Forklar at

1) x = e[sup]lnx[/sup]
2) x[sup]x[/sup] = e[sup]xlnx[/sup]

b) Bruk oppgave a og deriver funksjonen f(x) = x[sup]x[/sup]

Har satt lenge med denne oppgaven, men skjønner egentlig ikke helt hav de mener med "forklar" og hvordan jeg skal gjøre det.

Ta i bruk logaritmesetningene! Men overbevis deg selv først at det er riktig, så prøv å bevis det. Med forklar er det enten nok at du beskriver det med ord, eller beviser det gjennom logiske slutnnger.

Når du skal derivere: Bruk at [tex]x^x=e^{x\ln{x}}[/tex] og bruk kjerneregelen for derivasjon.

A)

Første oppgave kan bevises ved å ta logaritmen av begge sider.

[tex]x = e^{Lnx} \\ Ln x = Ln( e^{Lnx} )[/tex]

Du vet fra tidligere at [tex]Ln a^b = b \cdot Ln a[/tex].

[tex]Ln x = Ln( e^{Lnx} ) \\ Ln x = Ln x \cdot Ln e[/tex]

[tex]Ln e[/tex] er som kjent [tex]1[/tex].

[tex]Ln x = Ln x \cdot 1 \\ Ln x = Ln x[/tex]

Andre oppgave er noe av det samme.

[tex]x^x = e^{x \cdot Ln x} \\ x^x = (e^{Ln x})^x \\ x^x = (x)^x[/tex]

B)

Derivasjon av [tex]F(x) = x^x[/tex] er forklart her.

Edit: Det var forøvrig første treff på Google.

Visste ikke at implisitt derivasjon var videregående materiale =)

f(x) = x^x

f(x) = e^(lnx*x)

f'(x) = e^(lnx*x) * (lnx*x)'

(lnx*x)' = x * 1/x + 1*lnx = lnx + 1

f'(x) = x^x * (lnx + 1)

[tex]y=x^x[/tex]

[tex]\ln(y)=\ln(x^x)[/tex]

[tex]\ln(y)=x\ln(x)[/tex]

[tex]\frac{1}{y}\cdot y^\prime=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac1{x}[/tex]

[tex]y^\prime=(\ln(x)+1)\cdot y[/tex]

[tex]y^\prime=(\ln(x)+1)\cdot x^x[/tex]