matematikk.net

hei, sliter litt med denne.

Anta at farten, i meter pr.sekund, til en sprinter, når han har løpt x meter av et 100-meterløp, er gitt ved funksjonen

[tex] v(x) = \frac{7}{40} \sqrt{160x-x^2}, 0\leq x \leq 100 [/tex]

a) Hva er mannens maksimumsmfart, og hvor langt har han løpt når maksimumsfarten oppnås? Bestem også mannens akselerasjon [tex] \frac{dv}{dt} [/tex] som funksjon av x.

b) Hvor lang tid bruker mannen på 100-meteren?

Ok. Det er ganske lett å finne ut maksimumfarten og hvor langt han har løpt da. Men hvordan finner man akselerasjonen [tex] \frac{dv}{dt} [/tex] som funksjon av x?

Jeg vet feks at:

[tex]a(x) = \frac{d}{dx} (v(x))[/tex]

[tex] \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} [/tex] og [tex] v = \frac{s}{t}[/tex]

Jeg prøvde å å finne et utrykk for [tex]\frac{dx}{dt} [/tex] siden man lett kan finne [tex]\frac{dv}{dx} [/tex] , tenkte jeg at produktet av disse ville være [tex]\frac{dx}{dt} [/tex] utryykt med x. Men jeg endte opp med at det ble 0 og kluss.

Svaret i a) skal bli: [tex] \frac{dv}{dt} = (\frac{7}{40})^2 (80-x)[/tex]

Svaret i b) skal bli: [tex] \frac{40}{7} (\frac{\pi}{2} + arcsin(\frac{1}{4}))[/tex]

Det virker som du er like i nærheten.
Som du selv skriver, har du
[tex]a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}[/tex]
Husk så at [tex]\frac{dx}{dt}=v[/tex]. Da kommer du videre ved å bruke det oppgitte uttrykket for [tex]v[/tex].

Dette blir vel også nøkkelen til å finne tidsforbruket:

[tex]\frac{dx}{dt}=\frac{7}{40}\sqrt{160x-x^2}[/tex]

gir

[tex]\frac{40dx}{7\sqrt{160x-x^2}}=dt[/tex]

Integrer så venstresiden fra 0 til 100 for å finne tidsforbruket.