matematikk.net

Noen som har tips på hvordan jeg kan finne ut om denne rekka konvergerer eller divergerer:

[tex]\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}}{n+5^n}[/tex]

Bruk sammenlikningstesten - Kan du klare å finne en geometrisk rekke å sammenlikne med?

Hvis jeg sammenligner med

[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}[/tex] (som konvergerer)

får jeg at grenseverdien er 0 som vil si at rekka mi konvergerer...

Er dette riktig?

Det stemmer dersom du kan vise at [tex]0 \leq \sum _{n = 0} ^\infty \frac{2^{n+1}}{n+5^n} \leq \sum _{n = 1} ^\infty \frac{1}{2^n}[/tex]

Det var i grunnen ikke den geometriske rekka jeg tenkte på. Hva skjer dersom du lager en ny rekke der du skriver 5^n i nevner i stedet for (n + 5^n)?

Er ikke helt sikker på hva du mener, men det jeg brukte var grensesammenligningstestn.

[tex]\lim_{\ n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}[/tex]

Kan du forklare litt nærmere hva du mener? Får vi en rekke som er lettere å vise at er større en rekka mi?

Du har da ikke brukt grensesammenlikningstesten? Hvis du vil sammenlikne rekka di med den geometriske rekka du presenterte etterpå, så må du undersøke:

[tex]\lim _{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{n+5^n}}{\frac{1}{2^n}} = \lim _{n \to \infty} [/tex]

Var det jeg gjorde, men når jeg ser litt nærmere ser jeg at grenseverdien kanskje ikke blir 0

Men hvilken geometrisk rekke er det du tenker på?

[tex]\sum _{n = 0} ^\infty \frac{2^{n+1}}{5^n}[/tex] (er denne geomertisk?)

eller

[tex]\sum _{n = 1} ^\infty \frac{1}{5^n}[/tex]

eller er det en annen?

Hva med å skrive

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{5^n}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{5^n}=2\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{2}{5})^n[/tex]

Ser du rekken da? Må jo vise en ulikhet før du vet at dette er riktig rekke, ser du hvilken?

Jeg ser at dette [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{5^n}[/tex] er en geometrisk rekke, men hva mener du med ulikhet? (ser ikke den nei..)

orjan_s wrote:Noen som har tips på hvordan jeg kan finne ut om denne rekka konvergerer eller divergerer:

[tex]\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}}{n+5^n}[/tex]

Du kan sammenligne den med:

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{5^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{5})^n [/tex]

Denne konvergerer, og den er også større enn

[tex]\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}}{n+5^n}[/tex]

altså:


[tex]\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}}{n+5^n} < \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{5})^n[/tex]

Da kanskje du kan svare på om den konvergerer eller divergerer