eksamensoppgave
Posted: 13/11-2007 23:38
Gi et eksempel på konvergente rekker [tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/tex] og [tex] \sum_{n=1}^{\infty} b_n [/tex] slik at [tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n [/tex] divergerer. Er det mulig å finne et slikt eksempel dersom vi i tillegg forlanger at [tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/tex] er absolutt konvergent? (Begrunn svaret.)
Vi lar
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} [/tex]
og ,
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} = (-1)^n \frac{1}{ln n} [/tex]
Vi vet at begge disse konvergerer betinget.
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} 1^{2n} \frac {1}{n ln n}[/tex]
Vi ser bort fra [tex] 1^{2n} [/tex] og påviser divergens med integraltesten:
[tex] \int_1^{\infty} \frac{1}{nln n} = ln(ln \infty) - ln(ln(1)) = \infty[/tex]
Jeg trur ikke vi kan få til dette om [tex] a_n[/tex] er absolutt konvergent, hvordan kan jeg vise eller begrunne dette?
Vi lar
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} [/tex]
og ,
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} = (-1)^n \frac{1}{ln n} [/tex]
Vi vet at begge disse konvergerer betinget.
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} 1^{2n} \frac {1}{n ln n}[/tex]
Vi ser bort fra [tex] 1^{2n} [/tex] og påviser divergens med integraltesten:
[tex] \int_1^{\infty} \frac{1}{nln n} = ln(ln \infty) - ln(ln(1)) = \infty[/tex]
Jeg trur ikke vi kan få til dette om [tex] a_n[/tex] er absolutt konvergent, hvordan kan jeg vise eller begrunne dette?