matematikk.net

En ikke så vanskelig en, men jeg må bare skjønne det....

x [symbol:rot] 2x-3 skal deriveres.

Jeg har kommet frem til dette, men syns ikke det virker riktig...
1/(1*2 [symbol:rot] 2x)

Er nok feil hvis utrykket er slik:
[tex]x\sqrt(2x-3)[/tex]?

Hvis Mayhassen har rett i sin antakelse, blir det feil.

Vi setter u = [symbol:rot] (2x-3)

[ x[symbol:rot] (2x-3)]' = [x]' u + x' =

Da må vi derivere u: (bruker kjerneregelen:

u' = r' x v' = 1 / ( [symbol:rot] 2x-3)

Fortsetter...

[ x[symbol:rot] (2x-3)]' = [x]' u + x' = [symbol:rot] (2x-3) + x / ( [symbol:rot] 2x-3) = (3x - 3) / ( [symbol:rot] 2x-3)

Når du bruker kjerneregelen må du huske å gange med kjernens deriverte, setter opp hele stykket her:
produktregelen: u'v+uv'
[tex]u=x, v=\sqrt(2x-3)[/tex]
[tex]\d u=1[/tex]
når vi skal derivere v må man bruke kjerneregelen:
[tex]z=2x-3, \d z=2[/tex]
[tex]\d v=\frac{1}{2\sqrt(z)}\cdot \d z= \frac{1}{\sqrt(2x-3)}[/tex]

Setter nå inn i produktregelen
[tex]1\cdot \sqrt(2x-3)+x\cdot \frac{1}{\sqrt(2x-3)}[/tex]

[tex]\sqrt(2x-3)+ \frac{x}{\sqrt(2x-3)}[/tex]

En alternativ løsning:

Skriver om uttrykket:

[tex]x \cdot \sqrt{2x-3} = \sqrt{x^2 \cdot (2x-3)} = \sqrt{2x^3-3x^2} = (2x^3-3x^2)^{\frac12}[/tex]

Bruker kjerneregel:

Kjerne: [tex]u(x) = 2x^3-3x^2[/tex] , ytre funksjon : [tex]g(u(x)) = (u(x))^{\frac12}[/tex]

[tex]((2x^3-3x^2)^{\frac12})^\prime = ((u(x))^{\frac12})^\prime = \frac12 \cdot (u(x))^{\frac12 -1} \cdot (u(x))^\prime = \frac12 \cdot (2x^3-3x^2)^{-\frac12} \cdot (6x^2-6x) = \frac{\cancel{2}(3x^2-3x)}{\cancel{2}\sqrt{2x^3-3x^2}} = \frac{\cancel{x}(3x-3)}{\cancel{x} \cdot \sqrt{2x-3}} = \underline{\underline{\frac{3x-3}{\ \sqrt{2x-3}\ }}}[/tex]

Den var ikke dum