matematikk.net

Jeg har to horisontale sylindre som krysser hverandre, to rør i et kryss. De har radius a=1, lengden på dem er 2. Jeg skal finne volumet av det stykket som er felles volum for begge rørene.

Så da tenker jeg at hvert tverrsnitt blir et kvadrat og da blir arealet (2x)²=4x² fordi sidene er dobbelt av radiusen. Setter jeg dette inn i integralet og regner ut får jeg:

[tex]\int_0^{2a}4x^2=[\frac43x^3]_{0}^{2a}=\frac{32}{3}a^3[/tex]

Så sier fasiten at det skal være 16 istedenfor 32, hvor tenker jeg feil?

La oss da tenke oss en horisontal, kvadratisk skive med side 2x og tykkelse dz i høyden z. Denne skiva får volum [tex]dV=(2x)^2\;dz=4x^2\;dz[/tex]
Men vi har [tex]z^2=a^2-x^2[/tex], slik at volumet derfor blir
[tex]V=\int_{-a}^a4(a^2-z^2)\;dz=\frac{16}{3}a^3[/tex]

Tusen takk!!
Det hjalp endel på forståelsen.
Jeg har nok et problem her som jeg sliter mye med.

Jeg har den deriverte av arctan: [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex]
Den blir avgrenset av y og x aksene og linja x=1.

Jeg skal finne volumet av legemet som blir laget hvis vi dreier om y-aksen.
Hvis jeg bruker sylinderskallmetoden eller hva det kalles på norsk får jeg :

[tex]2\pi\int_{0}^{1}xy dx=2\pi\int_{0}^{1}x\frac{1}{1+x^2}[/tex]

setter u=1+x², du/2 = x dx, og får ØG: 2, NG: 1

Dette gir meg

[tex]\pi[\ln u]_{1}^{2}=\pi\ln2[/tex]
Stemmer vel dette?
Så skal jeg ikke bruke denne metoden, men den som står i boka:
[tex]\pi\int x^2 dy[/tex]
Skal jeg ikke da skrive om slik at [tex]x=\sqrt{\frac1y-1}[/tex] ?
I såfall får jeg et problem når jeg skal integrere for da ender jeg opp med å ta ln av 0, siden jeg bruker grensene 0 og 1, er det disse som er feil eller er det noe annet jeg har misset?

Husk at du må dele opp integralet:

[tex]V=\pi\int_0^{\frac{1}{2}}1^2 dy+\pi\int_{\frac{1}{2}}^1\left(\frac{1}{y}-1\right) dy[/tex]

Husk at du må dele opp integralet:

[tex]V=\pi\int_0^{\frac{1}{2}}1^2 dy+\pi\int_{\frac{1}{2}}^1\left(\frac{1}{y}-1\right) dy[/tex]

ja riktig, skjønte hvorfor nå. Hadde ikke tenkt på det i det hele tatt. Takk nok en gang, setter stor pris på hjelpa her