matematikk.net

Heisann. Satt og prøvde å regne et integral da det krøllet seg litt med regnereglene:

Har dette integralet til å begynne med:
[tex]V = \pi \int^2_0 {\frac{16x^2}{(x^3+2)^2}} dx[/tex]

Så tenker jeg å substituere slik:
[tex]u=x^3+2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=3x^2 \Rightarrow dx=\frac{du}{3x^2}[/tex]

Setter u inn i opprinnelig uttrykk:
[tex]V = \pi \int \frac{16x^2}{(3x^2)^2} \cdot du[/tex]

Så ganger jeg ut nevneren og forkorter x^2. Da står jeg igjen med:
[tex]V = \pi \int \frac{16}{3 \cdot 3x^2} \cdot du[/tex]

Og når jeg så døper om:
[tex]3x^2 = \frac{du}{dx}[/tex]

Så vil jeg kunne forkorte bort "du" slik at jeg står igjen med:
[tex]V = \pi \int \frac{16}{3} \cdot dx[/tex]

Og når "du" ikke lengre er med i uttrykket, så kan jeg vel forholde meg til de opprinnelige grenseverdiene slik at:
[tex]V = \pi \int^2_0 {\frac{16}{3}} \cdot dx = \frac{32\pi}{3} \approx 33,5[/tex]

Men det blir jo helt feil. Vet at svaret skal være mye mindre
Har jeg gjort noe som ikke er helt lovlig ?

det skjedde noe underveis...

[tex]V=16\pi \int_0^2\frac{x^2}{(x^3+2)^2}{\rm dx}[/tex]

og med din substitusjon blir volumet;

[tex]{1\over 3}{\rm du}=x^2{\rm dx}[/tex]

slik at, og med skifting av grenser;

[tex]V=\frac{16\pi}{3} \int_2^{10} \frac{{\rm du}}{u^2}[/tex]

osv