matematikk.net

Vis at denne formelen er riktig:

n
Z (2k -1) = n^2
k=1

n
[sigma][/sigma](2k-1)
k=1

= 1+3+5+7+9+...+(2n-1)

Du kan bruke samme betrakning som for summen 1+2+3+4+5+..+n

Summen av stoerste og minste tall i rekka er 2n (for en hvikensomhelst n). Dersom n er partall, er det (n/2) slike summer i rekka. Dette gir

2n(n/2) = n[sup]2[/sup]

Dersom n er oddetall er det (n-1)/2 slike summer. I tillegg blir det stående igjen et tall i midten av rekka. Dette tallet er 2[(n+1)/2]-1. Dette gir:

2n(n-1)/2 + 2[(n+1)/2]-1 = n[sup]2[/sup] - n + n +1 -1 = n[sup]2[/sup]

Du spør om hvordan følgende kan vises:
n
Z (2k -1) = n^2
k=1

I henhold til regler for ledd inni summasjonsuttrykk kan vi trekke ut
og få det på formen:

n
2*Z (k)
k=1

-
n
Z(1) = 2*(n(n+1)/2) - n = n(n+1-1) = n*n = n^2
k=1

Her brukte jeg i første summasjonsledd kjennskapen til at
summen av de n første naturlige tallene, 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Det andre leddet var bare å summere 1+1+1+...+1 n ganger.