matematikk.net

Dette er et integral fra Putnam-konkurransen i 1992:

La [tex] C(\alpha)[/tex] være koeffisienten til [tex]x^{1992}[/tex] i potensrekken rundt x=0 av [tex](1+x)^\alpha[/tex] Finn:

[tex]\int _0 ^1 \left( C(-y-1)\sum _{k=1}^{1992} \frac{1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]

daofeishi wrote:Dette er et integral fra Putnam-konkurransen i 1992:
La [tex] C(\alpha)[/tex] være koeffisienten til [tex]x^{1992}[/tex] i potensrekken rundt x=0 av [tex](1+x)^\alpha[/tex] Finn:
[tex]\int _0 ^1 \left( C(-y-1)\sum _{k=1}^{1992} \frac{1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]

Denne plager meg noe!
Skulle gjerne hatt litt mer hint her. Kan man studere Taylor rekka? Er svaret 1992, mon tro?

Svaret er nok ikke 1992:

Først
[tex]\displaystyle C(\alpha)= \prod_{l=1}^{1992} \frac {\alpha-l+1}{l}[/tex]

er en generell binomialkoeffisient, så

[tex]\displaystyle C(-y-1) = \prod_{l=1}^{1992} \frac {-y-l}{l} = \prod_{l=1}^{1992} \frac {y+l}{l}[/tex]

Så går vi tilbake til integralet,

[tex]\displaystyle I = \int_0^1 \left(C(-y-1) \sum_{k=1}^{1992} \frac {1}{y+k}\right) \rm{d}y = \int_0^1 \left(\prod_{l=1}^{1992} \frac {y+l}{l} \cdot \sum_{k=1}^{1992} \frac {1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]

Flytter [tex]\frac {1}{1992!}[/tex] utenfor integralet, og gjenkjenner resten av integranden som den deriverte av [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^{1992}{y-k}[/tex]

Dermed har vi altså

[tex]\displaystyle I=\frac{1}{1992!}\cdot \left[\prod_{k=1}^{1992}y-k\right]_0^1= \frac {0\normal-\prod_{k=1}^{1992}(-k)}{1992!}=-1[/tex]

Jeg synes I = -1 er et "rart" svar på ett bestemt integral! Tror svaret ditt skal være 1993 - 1 = 1992.
OK, ett forslag her:

[tex]\displaystyle I \, = \, \int_0^1 \left(C(-y-1) [\frac{1}{y+1}\,+\,\frac{1}{y+2}\,+\,\frac{1}{y+3}\,+\,...+\,\frac{1}{y+1992}] \right)\, {\rm dy}[/tex]

[tex]C(\alpha) \, =\, {\alpha \choose 1992} = \frac{\alpha (\alpha -1 )(\alpha -2)\,...\,(\alpha - 1991)}{1992!}[/tex]

[tex]C(-y-1) \, = \, \frac{ (-y -1 )(-y -2)\,...\,(-y- 1992)}{1992!}\, =\, \frac{(y+1)(y+2)\,...\,(y+1992)}{1992!}[/tex]

innfører så f(y) = (y+1)(y+2)(y+3) ... (y+1992)
og utfører logaritmisk derivasjon:

[tex]\frac{f^,(y)}{f(y)}\,=\,\frac{1}{y+1}\,+\,\frac{1}{y+2}\,+\,...\,+\,\frac{1}{y+1992}[/tex]

videre gir dette integralet:

[tex]I\,=\,\frac{1}{1992!}\,\int_0^1 f(y)\,\frac{f^,(y)}{f(y)}\,{\rm dy}\,=\,\frac{1}{1992!}\,\int_0^1 f^,(y)\,{\rm dy}\,=\,\frac{1}{1992!}\,[f(y)]_0^1\,=\,\frac{1}{1992!}\,[1993!\,-\,1992!]\,=\,1993\,-\,1\,=\,1992[/tex]

Du har selvfølgelig helt rett. Jeg hadde en fortegnsfeil der, det skulle vært [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^{1992}y+k[/tex]

Janhaas løsning stemmer, ja