Eksisterer grenseverdien?
[tex]f(x,y) = \frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}[/tex]
[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \ f(x,y)[/tex]
Dette er hva jeg har gjort:
[tex]\large|\frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}\large| < \epsilon[/tex] så lenge [tex]0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta[/tex]
[tex]\frac{x^2|y|-y^2|x|}{x^2+y^4} < \epsilon[/tex]
Hva er neste skritt?
Grenseverdi
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Det blir veldig tungvint, lønner seg ofte å sjekke grenseverdien når du beveger deg mot origo langs noen enkle kurver først. For eksempel ser du at f(x,0)=0 når x ikke er 0, så grenseverdien må være 0 om den skal eksistere. Se om du kan finne ei annen kurve som forteller deg at grenseverdien må være noe annet, da har du vist at den ikke kan eksistere.
Okei, vi prøver.
[tex]f(x,y) = \frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}[/tex]
[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{r\cos{\theta}r\sin{\theta}(r\cos{\theta} - r\sin{\theta})}{r^2\cos^2{\theta} + r^4\sin^4{\theta}}[/tex]
[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{\cancel{r^2}\cos{\theta}\sin{\theta}(r\cos{\theta}-r\sin{\theta})}{\cancel{r^2}(\cos^2{\theta}+r^2\sin^4{\theta})}[/tex]
[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{r\cos^2{\theta}\sin{\theta}-r\cos{\theta}\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + r^2\sin^4{\theta}}[/tex]
Følgelig eksisterer grenseverdien (?)
[tex]\lim_{r\rightarrow 0} \ \frac{r\cos^2{\theta}\sin{\theta}-r\cos{\theta}\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + r^2\sin^4{\theta}} \ \rightarrow \ 0[/tex]
[tex]f(x,y) = \frac{xy(x-y)}{x^2+y^4}[/tex]
[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{r\cos{\theta}r\sin{\theta}(r\cos{\theta} - r\sin{\theta})}{r^2\cos^2{\theta} + r^4\sin^4{\theta}}[/tex]
[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{\cancel{r^2}\cos{\theta}\sin{\theta}(r\cos{\theta}-r\sin{\theta})}{\cancel{r^2}(\cos^2{\theta}+r^2\sin^4{\theta})}[/tex]
[tex]f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) = \frac{r\cos^2{\theta}\sin{\theta}-r\cos{\theta}\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + r^2\sin^4{\theta}}[/tex]
Følgelig eksisterer grenseverdien (?)
[tex]\lim_{r\rightarrow 0} \ \frac{r\cos^2{\theta}\sin{\theta}-r\cos{\theta}\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + r^2\sin^4{\theta}} \ \rightarrow \ 0[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Ja, funker fint det.
Alternativ: For [tex]xy\ne0[/tex] er [tex]f(x,0)=0[/tex] og [tex]f(y^2,y)=\frac{y-1}2[/tex] som går mot ulike verdier når vi går til grensene, følgelig eksisterer ikke grenseverdien.
Alternativ: For [tex]xy\ne0[/tex] er [tex]f(x,0)=0[/tex] og [tex]f(y^2,y)=\frac{y-1}2[/tex] som går mot ulike verdier når vi går til grensene, følgelig eksisterer ikke grenseverdien.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Nei, zell har endra konklusjonen sin mens jeg skreiv tydeligvis, sånn det står nå stemmer det sjølsagt ikke.
Stemmer, jeg gjorde det 
Fant ut av det likevel. I deloppgaven før denne oppgaven ble vi bedt om å parametrisere to kurver av konturplotten som ikke hadde samme grenseverdi når t -> 0. Dermed kan ikke grenseverdien eksistere, da den ikke er lik for alle parametriseringer av kurven (?).
Fant ut av det likevel. I deloppgaven før denne oppgaven ble vi bedt om å parametrisere to kurver av konturplotten som ikke hadde samme grenseverdi når t -> 0. Dermed kan ikke grenseverdien eksistere, da den ikke er lik for alle parametriseringer av kurven (?).