matematikk.net

a) En bedrift produserer en vare x i et frikonkurransemarked. Salgsprisen per enhet er på kr 200, og de totale kostnadene er C(x) = 0,003x2 + 80x + 500 000. Bedriften har kun kapasitet til å produsere 30 000 enheter.

Hvor mange enheter må bedriften produsere for å maksimere overskuddet og hva blir overskuddet?

b) En bedrift produserer en vare x. De totale inntektene er R(x) = 10x – x2/1000, mens de totale kostnadene er C(x) = 2x + 5000. Profitten som oppnås ved å produsere og selge x enheter er da:

Π(x) = R(x) – C(x) = 10x – x2/1000 – (2x + 5000)

Bedriften har kun kapasitet til å produsere 10 000 enheter.

Grensekostnaden, GK(x) er den deriverte av totale kostnader TK(x), mens grenseinntekten GI(x) er den deriverte av totale inntekter TI(x). Totale inntekter blir her prisen ganget med antall produserte (eller solgte, siden man gjerne regner med at alt som produseres også selges) enheter x.

TK(x) = 0,003x^2+80x+500 000
GK(x) = dTK/dx = 0,006x + 80

TI(x) = x*200
GI(x) = 200

Resultatet (overskuddet) maksimeres for produksjonsmengden x når grenseinntekten er lik grenseinntekten. Grensekostnaden eller -inntekten representerer henholdsvis påløpte kostnader eller inntekter ved å produsere én ekstra enhet av en vare. Så lenge grenseinntekten er større enn grenseinntekten for en viss produksjonsmengde, vil det lønne seg å lage minst én enhet til.

Man kan også se på det slik:

Resultat = TI(x) - TK(x) = (200x) - (0,003x^2+80x + 500 000)

For å maksimere resultatet, deriverer man og setter lik null.

200 - (0,006x+80) = 0

200 = 0,006x+80

GI(x) = GK(x)

Vi løser for x

x = 20 000 produserte enheter

For å finne overskuddet, setter jeg inn 20 000 i funksjonen for resultatet:

Resultat = 200 * 20 000 - (0,003 * 20 000^2 + 80 * 20 000 + 500000)

Resultat = 700 000

Oppgave b) løses på samme måte, bare at de her har satt opp en funksjon Π(x) som viser hvordan resultatet forandrer seg med antall produserte enheter, akkurat som jeg gjorde i forrige oppgave for å vise grunnlaget for GI(x)=GK(x). Denne deriveres og settes lik null for å finne maksimum.

Π(x) = 10x-(x^2)/1000 - (2x + 5000)

Π'(x) = 10-2x/1000 - 2 = 0

8 = 2x/1000

8000 = 2x

x = 4000 produserte enheter.

Resultat = 11 000