matematikk.net

problem: Bestem maclaurinrekken (binomialutviklingen) til funksjonen:
[symbol:funksjon] (x) = 1/[symbol:rot]( 1-x).

Jeg har komt frem til et svar, men vil forsikre mej om jeg har gjort rett, evt galt.

svar:
1/ [symbol:rot] (1-x) = 1 - x/2 + 1*3/2! * (x/2)[sup]2[/sup] - 1*3*5/3! * (x/2)[sup]3[/sup] + 1*3*5*7/4! * (x/2)[sup]4[/sup] + ......

setter pris på om noen ser på dette.
Takker på forhånd.

a = 0.

MacLaurin-rekken er gitt ved:

[tex]f(a) + \frac{f^,(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{,,}(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n[/tex]

[tex]f(a=0) = 1[/tex]

[tex]f^,(a) = \frac{\rm{d}}{\rm{d}a}((1-a)^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}(1-a)^{-\frac{3}{2}}(-1) = \frac{1}{2\sqrt{(1-a)^3}[/tex]

[tex]f^,(a=0) = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]f^{,,}(a) = \frac{\rm{d}}{\rm{d}a}(\frac{1}{2}(1-a)^{-\frac{3}{2}})[/tex]

[tex]f^{,,}(a) = -\frac{3}{4}(1-a)^{-\frac{5}{2}}(-1) = \frac{3}{4}(1-a)^{-\frac{5}{2}}[/tex]

[tex]f^{,,}(a=0) = \frac{3}{4}[/tex]

[tex]f^{(3)}(a) = -\frac{15}{8}(1-a)^{-\frac{7}{2}}(-1) = \frac{15}{8}(a-1)^{-\frac{7}{2}}[/tex]

Så vi har rekkeutviklingene:

[tex]1+ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4 \ \cdot \ 2!}x^2 + \frac{15}{8 \ \cdot \ 3!}x^3 + \cdots [/tex]

Ser ut som du har glemt kjerneregelen i din utregning.

Får du det samme svaret viss du bruker teoremet til binomialrekken?
du får en helt annen fremgangsmåte og fortegnet vil skifte fra ledd til ledd. ergo vil rekken konvergere (?).



Jeg brukte vertfall dette teoremet og fikk at rekken konvergerer.
kan man bruke MacLaurin-rekken på akkurat dette eksempelet? og vil man få samme svar som binomial-rekken.

ganske forvirret at the moment.

takker på forhånd.