matematikk.net

Gjør jeg noe grunnleggende feil her?

Oppgave: Finn binormalen og torsjonen i punktet [tex]\vec{r}(\pi )[/tex].

[tex]\vec{r}(t) = [\cos{t},\sin{t},t][/tex]

[tex]\vec{v}(t) = [-\sin{t},\cos{t},1][/tex]

[tex]\vec{T} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = [-\sin{t},\cos{t},1]\frac{1}{\sqrt{2}[/tex]

[tex]\vec{N} = \frac{\rm{d}\vec{T}/\rm{d}t}{|\rm{d}\vec{T}/\rm{d}t|} = [-\cos{t},-\sin{t},0][/tex]

[tex]\vec{B} = \vec{T} \ \rm{x} \ \vec{N} = \left| \begin{matrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{t}&\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{t}&\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\cos{t}&-\sin{t}&0 \end{matrix}\right| = \vec{i}(\sin{t}) - \vec{j}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{t}) + \vec{k}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos^2{t}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin^2{t})[/tex]

[tex]\vec{B} = [\sin{t},-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{t},\frac{1}{\sqrt{2}}][/tex]

Følgelig får vi:

[tex]\vec{B}(\pi ) = [0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}][/tex]

Her er svaret mitt annereledes enn fasit, den sier nemlig: [tex]\vec{B}(\pi ) = [0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}][/tex]

ikke at det utgjør så mye, men du har en feil på kryssinga di på x-koordinatet, men blir jo 0 til slutt uansett, ellers klarer ikke jeg å se noen feil

[tex]\vec{r}^\prime (t) = (-\sin(t), \cos(t), 1)[/tex]
[tex]\vec{r}^{\prime\prime} (t) = (-\cos(t), -\sin(t),0)[/tex]

Den deriverte krysset med dobbelderiverte

[tex]\hat{i}(\sin t) - \hat{j}(\cos t) + \hat{k}(\sin^2(t) + cos^2(t)) = (\sin(t), -\cos (t), 1)[/tex]

Abs av denne er [tex]\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}[/tex]

Slik at [tex]\vec{B} = (\sin(t), -\cos(t), 1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}[/tex]
Dermed blir [tex]\vec{B}(\pi) = (0,1,1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

Hmm.. Da fikk jeg tydeligvis samme svar som deg.

Det var feil i fasiten