matematikk.net

Dersom det ikke er noen ytre krefter på broen, og utslagene θ(t) er små, er utslaget på broen gitt av

θ'' + θ/9 = 0

t er gitt i sekunder, θ er gitt i radianer.

Her skal jeg finne broens egenfrekvens, og om det er tatt hensyn til dempning i ligningen.

Her trenger jeg noen hint til hvordan jeg skal gå fram (hvordan finne egenfrekvensen?) slik at jeg kan komme igang med å løse oppgaven.

Har prøvd og løse ligningen for θ(t), men har bare fått et svar som ikke stemmer.

Her er det sikkert mulig å ta noen snarveier, men anbefaler deg å løse den først. Få se hvordan du løser den!

den karakteristiske likninga er vel ett hint her

Ok, starter med å anta at løsningen er på formen [tex]y(t) = e^{rt}[/tex]

Karakteristisk ligning:
[tex]r^2 + \frac19 = 0[/tex]
[tex]r = \pm \frac13i[/tex]
Løsningen blir da:

[tex]y(t) = C_1e^{\frac13it}+C_2e^{-\frac13t}[/tex]
[tex]\frac{d^2y}{dt^2} = \frac19iC_1e^{\frac13it}+\frac19iC_2e^{-\frac13t}[/tex]

Setter y og y'' inn i ligningen for å se om det stemmer.

[tex]\frac19iC_1e^{\frac13it}+\frac19iC_2e^{-\frac13t} + \frac19(C_1e^{\frac13it} + C_2e^{-\frac13t})[/tex]

Og det gjør det ikke, for dette blir ikke null.

Du har derivert feil.

[tex]\frac {\rm{d}^2}{\rm{d} t^2} e^{ikt} = (ik)^2 e^{ikt} = -k^2 e^{ikt}[/tex]

Du kan også med fordel heller bruke de to lineært uavhengige partikulærløsningene

[tex]\frac{e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}=\cos{kt}[/tex] og [tex]\frac{e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}=\sin{kt}[/tex]

Ok, da har jeg funnet en løsning som stemmer.

Men hvor/hva er egenfrekvensen? Finner ikke noe særlig om dette i hverken boka, eller notatene (?).

Jeg mener jeg klarte å finne fram til at det ikke var tatt hensyn til dempning ihvertfall. Husker jeg skrev det ned litt røft et eller annet sted, for den delen var også noe uklar synes jeg.