matematikk.net

Hei igjen. Lurte på om noen kunne forklare hvorfor svaret her blir [tex]e^2[/tex] ?? Er veldig dårlig forklart det eksempelet som er i boka.
Skjønner ikke fremgangsmåten


[tex]\lim_{h\rightarrow 0}(1+2h)^ {\frac{1}{h}[/tex]

Vet du fra før at [tex]\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e[/tex]? I så fall kan du bare sette 2h=u, og se hva som skjer.

evt:

[tex]L = \lim_{h\to 0} (1+2h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

[tex]\ln L = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \ln (1+2h) = \lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+2h)}{h} = 2[/tex]

Dermed er [tex]L = e^2[/tex]

Den ene grenseverdien der får det nesten bli opp til deg å vise.

Når h->0 vil uttrykket gå mot 1^uendelig. Dette er noe som sier deg fint lite.

Du kan da ta den naturlige logaritmen til uttrykket, fordi du vet at: [tex]\ln{a^p} = p\ln{a}[/tex]

Du får:

[tex]\lim_{h\to 0} \ (1+2h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln{(1+2h)}}{h}[/tex]

Dette er et såkalt 0/0-uttrykk, og L'Hôpitals regel kan anvendes, deriverer da teller og nevner hver for seg.

[tex]\lim_{h\to 0} \ \frac{\frac{2}{1+2h}}{1} = 2[/tex]

Så, hva sier denne grenseverdien oss? Jo.

[tex]\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{h\to 0} e^{\ln{f(h)}}[/tex]

Vi fant [tex]\lim_{h\to 0} \ \ln{f(h)} = 2[/tex]

Og får dermed:

[tex]\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{h\to 0} e^{\ln{f(h)}} = e^2[/tex]

Ble du noe klokere?

Kan ikke denne utregningen like gjerne gjøres med briggske logaritmer? Blir svaret annerledes da?

Nei, det kan man ikke.

Se på definisjonen av "e" http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathe ... onstant%29

[tex]e = \lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n[/tex]

espen180 wrote:Kan ikke denne utregningen like gjerne gjøres med briggske logaritmer? Blir svaret annerledes da?

Vel, du kan jo prøve. Kommer i mål da også, men er ikke så meget poeng i å gjøre det mer komplisert.

Er ikke helt sikker på om jeg skjønte poenget litt rusten på dette feltet. men skal prøve....

kan noen forklare hva zell egentlig gjør når han bruker l'hopitals regel? datt litt av akkurat der

L'hopitals regel er nok ikke på pensum for deg, men det er en grei regel du godt kan lære deg.

I utgangspunktet gjelder den for grenseverdi-utrykk der du får et resultat som er [tex]\frac{0}{0}[/tex]. Hvis dette er tilfellet kan du derivere teller og nevner hver for seg, og det er nettopp det zell gjør:

[tex]\lim_{h\to 0} \ (1+2h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln{(1+2h)}}{h}[/tex]

Du ser her at når h går mot null blir utrykket 0/0 (ettersom nevner er h, og ln(1)=0), derfor kan du derivere teller og nevner hver for seg:

[tex]\lim_{h\to 0} \ \frac{\frac{2}{1+2h}}{1} = 2 [/tex]

Som da vist av zell!

ok takk for det har ett spørsmål til. Sliter med en oppgave som jeg har sett her i forumet, men ikke helt har forstått hvordan jeg skal lørse. Vil helst gjøre det uten l'hopitals regel siden det ikke er pensum

link til oppgaven: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... r&start=15

Kan du hjelpe meg litt her tror du?

beatnik wrote:ok takk for det har ett spørsmål til. Sliter med en oppgave som jeg har sett her i forumet, men ikke helt har forstått hvordan jeg skal lørse. Vil helst gjøre det uten l'hopitals regel siden det ikke er pensum

link til oppgaven: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... r&start=15

Kan du hjelpe meg litt her tror du?

Se på innlegget igjen,det har blitt mer utdypet enn sist.

Den oppgaven har, ihvertfall her på forumet, blitt utelukkende blitt besvart med l'hospitals regel. Det er ingen ny informasjon som har blitt tillagt i forbindelse med hvordan man besvarer oppgaven uten bruk av regelen.

groupie wrote:Den oppgaven har, ihvertfall her på forumet, blitt utelukkende blitt besvart med l'hospitals regel. Det er ingen ny informasjon som har blitt tillagt i forbindelse med hvordan man besvarer oppgaven uten bruk av regelen.

Om det er noen andre regler enn l`hospitals for å regne ut likningen eller den informasjonen du har fått hittil, blir vel til etterlysning.

Korrigert.

Hvilken rasjonale ligning?

Vektormannen wrote:Hvilken rasjonale ligning?

Har rettet.Husk at en rasjonal likning er der den ukjente står under rottegnet.

Tema var dette her ;


[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+{\frac{t}{2}})=\lim_{t\rightarrow0}e^{ln(1+{\frac{t}{2}})}^{\frac{1}{t}}=\lim_{t\rightarrow0}e^{{\frac{1}{t}}ln(1+{\frac{t}{2}})}[/tex]

Bruker L`hospitals regel fordi det er et 0/0 uttrykk og deriverer teller og nevner for deretter faktoriserer uttrykket;

[tex]\lim_{t\rightarrow0}\frac{ln(1+{\frac{t}{2}})}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{\frac{1}{1+\frac{t}{2}} \ \cdot \frac{1}{2}}{1}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{1}{2+t}}={\frac{1}{2}}[/tex]

Dermed [tex]e^{\frac{1}{2}}[/tex]