matematikk.net

Mange av dere har sikkert sett denne før, men oppgaven er vel artig for noken.

Hvilket tall er størst av [tex]e^\pi[/tex] og [tex]\pi^e[/tex]?

Kan denne kun løses med en kalkulator, eller finnes det en "analog" utregning?

Kan denne kun løses med en kalkulator, eller finnes det en "analog" utregning?

Alt som kan løses med kalkulator, kan også løses uten.

Er man inne på noe hvis man bruker 2 < e < 3 < pi < 4 (eller trenger man en mer nøyaktig ulikhet) og så litt triksing med logaritmer?

Hvis man antar at

[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]

tar ln på begge sider:

[tex]\ln(e)^{\pi}\,\g \,\ln(\pi)^e[/tex]

[tex]\pi \ln(e)\, \g \, e \ln(\pi)[/tex]

og skriver deretter

[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]

skriver nå høyre sida som [tex]\;\;f=\frac{x}{\ln(x)}[/tex]

deriverer nå f og finner min, dvs

[tex]f^,=\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}\,=\,0[/tex]

ln(x) = 1 og x = e
Siden [symbol:pi] > e vil

[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]

og

[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]

holder dette...?

Den er god, den. Merk at det ikke er nødvendig at [tex]x >e[/tex], bare at [tex]x \neq e[/tex].

For alle [tex]x \geq 0[/tex] holder

[tex]e^x \geq x^e[/tex]

med likhet hvis og bare hvis x=e.

EDIT: trenger vel et ekstra bevis for [tex]0\leq x \leq 1[/tex], men det er bare å finne minimumen for [tex]x-e\cdot \ln{x}[/tex]