matematikk.net

Sliter litt med denne oppgaven:

Et rektangel med sider x og y har en omkrets på 36 cm. Det skal rulles til en sylinder med høyde y og omkrets x

a) Forklar at [tex]y=18-x[/tex]
b) Vis at volumet av sylinderen kan uttrykkes ved [tex]V=\frac{x^2}{4 \pi}(18-x)[/tex]
c) Bestem x slik at sylinderen får størst mulig volum.

Det jeg har gjort:

a) [tex]2x+2y=36[/tex]
[tex]2y=36-2x[/tex]
[tex]y=18-x[/tex]

b) [tex]V=r^2 \pi h[/tex]

[tex]V=\frac{x}{2 \pi}^2 \pi y[/tex]

[tex]V=\frac{x^2}{4 \pi^2}\pi (18-x)[/tex]

[tex]V=\frac{x^2 \cancel{\pi}}{4 \pi^{\cancel{2}}}(18-x)[/tex]

[tex]V=\frac{x^2}{4 \pi}(18-x)[/tex]

c) [tex]V^\prime=\frac{x(18-x)}{2 \pi} + \frac{x^2}{4 \pi}[/tex]

Nå prøver jeg å finne et nullpunkt, meen det eneste jeg finner er litt over 18, som er etter volumet trekker seg tilbake til null. Har jeg derivert feil?

Ja,

[tex]V^\prime = \left(\frac{x^2(18-x)}{4\pi}\right)^\prime = \frac{1}{4\pi} \cdot (18x^2 - x^3)^\prime = \frac{1}{4\pi} \cdot (36x - 3x^2) = \frac{36x - 3x^2}{4\pi}[/tex]

Hvilken regel bruker du når du deriverer der? Hvorfor endres ikke nevneren?

Den deriverte av en konstant ganget med en funksjon er lik konstanten ganget med den deriverte av funksjonen.

[tex](k \cdot f(x))^\prime = k \cdot f^\prime(x)[/tex]

F.eks. [tex](3x^2)^\prime = 3 \cdot (x^2)^\prime = 3 \cdot 2x = 6x[/tex]

Se der ja! Takk for raskt svar!

Hei! Ser at dette forumet er fra 2008, men jeg håper noen kan hjelpe meg nå.

Jeg holder på med akkurat den samme oppgaven. Det jeg sliter med å forstå er hvorfor pi er under brøkstreken i V=(x^2/4*pi)

Kan noen hjelpe meg? Takk

Volumet av en sylinder er $V = \pi r^2h$ der $r$ er radius i grunnflata og $h$ er høyda.

Her har vi at $h = y$ som gitt i oppgaveteksten, så $V = \pi r^2y$.

Omkretsen til grunnflata (som er en sirkel) er $x$. Så vi har $x = 2\pi r$ eller $r = \frac{x}{2\pi}$. Så $V = \pi\color{red}{\left( \frac{x}{2\pi} \right)^2}y = \pi\color{red}{\left( \frac{x^2}{4\pi^2} \right)}y$.

Aleks855 wrote:Volumet av en sylinder er $V = \pi r^2h$ der $r$ er radius i grunnflata og $h$ er høyda.

Her har vi at $h = y$ som gitt i oppgaveteksten, så $V = \pi r^2y$.

Omkretsen til grunnflata (som er en sirkel) er $x$. Så vi har $x = 2\pi r$ eller $r = \frac{x}{2\pi}$. Så $V = \pi\color{red}{\left( \frac{x}{2\pi} \right)^2}y = \pi\color{red}{\left( \frac{x^2}{4\pi^2} \right)}y$.

Tusen takk! Jeg tenkte det var en formel et sted jeg hadde glemt å fikle med, men jeg klarte ikke å se hvor den var. Igjen, takk