matematikk.net

Er [tex]\prod[/tex] i famme samilie som[tex] \sum[/tex], bortsett fra at det brukes faktorer i stedet for ledd? I så fall, er

[tex]\prod_{n=1}^{3} nx^n=x \cdot 2x^2 \cdot 3x^3=6x^6[/tex]?

Finnes det regler for utregnelse av disse, så en slipper å ta det "manuelt"?

Kan ingen hjelpe meg med dette?

Stemmer det. Jeg veit ikke riktig hva du legger i regler, men det finnes naturligvis relativt enkle måter å evalurere enkelte produkter på.

Jeg mente i retning av sumasjonsformelen til rekker. Finnes det en formel for å finne produktet fra [tex]a_n[/tex] til [tex]a_m[/tex]?

Like lite som det fins en generell formel for summen av de samme talla.

Hva med [tex]S_n=n\frac{a_1+a_n}{2}[/tex]?

det der er ikke nærheten av å summe a_n generelt, du vet vel det? det er bare en annen notasjon for produkt, og mer kan man ikke få ut av det før man får uttrykket mer bestemt.

Den formelen gjelder ikke generelt, men for en spesiell type rekker.

Som sagt, akkurat som det ikke fins enkle formler for generelle summer, fins det ikke enkle formler for generelle produkter.

Du kan prøve å finne enklere uttrykk for

[tex]\prod_{k=m}^n c \\ \prod_{k=1}^n k \\ \prod_{k=m}^n k \\ \prod_{k=1}^n c^k \\ \prod_{k=m}^n\frac{k+1}k[/tex]

Da blir det vel

[tex]\prod_{k=m}^{n}c=c^{n-m+1}[/tex]

[tex]\prod_{k=1}^n k=n![/tex]

[tex]\prod_{k=m}^n k=\frac{n!}{(m-1)!}[/tex]

[tex]\prod_{k=1}^n c^k=c^s \, , \, s=\sum_{k=1}^n k[/tex]

Aner ikke om noen av dem er riktige, men de høres logiske ut. Den siste har jeg ikke sjans på for øyeblikket.

Mye bra det! Og du fikk retta til m-1 også ser jeg nå, fint.

Badert på nummer 3, vil jeg si at nummer 5 blir

[tex]\prod_{k=m}^n \frac{k+1}{k}=\frac{\frac{n!}{(m-1)!}+(n-m+1)}{\frac{n!}{(m-1)!}}[/tex]

litt usikker men...

Det ligner jo på noe, men er ikke helt riktig. Prøv å la m=1 og n=5 for eksempel og skriv ut alle faktorene; det å prøve seg fram med diverse tall i det hele tatt kan ofte gi noen ideer om hvordan ting fungerer.

Hmm, der ble det noe annet ja. Tar jeg ikke feil ble det [tex]\frac{\frac{6!}{0!}}{5!}[/tex]

Altså [tex]\prod_{m}^n \frac{k+1}{k}=\frac{\frac{(n+1)!}{m!}}{\frac{n!}{(m-1)!}}[/tex]

Brenner tampen? Prøvde dette med to kombinasjoner: m=1,n=5 og m=3,n=6 og begge stemte visst.

Riktig det. Da gjenstår bare oppvaska så uttrykket får en litt mer presentabel form. Prøv å skrive opp hver enkelt faktor også så ser du at mye slår mye i hjel.

Det går vel an å skrive det som [tex]\prod_{k=m}^n \frac{k+1}{k}=\frac{(n+1)!}{m!} \cdot \frac{(m-1)!}{n!}[/tex]. Var det det du mente?