matematikk.net

Hei,
Hvordan beregner jeg en flateintegral over en kule av en funksjon F(x, y, z)?
dvs:
[tex] \int_{\sigma} F d\sigma [/tex] hvor sigma er en kule med radius a.


Tusend takk for hintet...

Parameterfremstilling:

[tex]\vec r(x,y)=[x, y, \sqrt{a^2-x^2-y^2}][/tex]

finn vektorporduktet:

[tex]\frac{\part \vec r}{\part x} \text \, x \, \frac{\part \vec r}{\part y}=(\frac{x}{r},{y\over r},1)[/tex]

[tex]A=\int \int_T {\rm d\sigma}=\int \int_T \frac{\part {\vec r}}{\part x}\text \, x \, \frac{\part {\vec r}}{\part y}\,{\rm dx}{\rm dy}=\int \int_T \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}{\rm dx}{\rm dy}[/tex]

[tex]A=2 \int_0^{2\pi} \int_0^a \frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}\,{\rm dr}{\rm d\theta}=-2\pi a \int_0^a u^{-0,5}\,{\rm du} = -4\pi a \sqrt{a^2-r^2}|_0^a = -4\pi a \cdot (- a) = 4 \pi a^2 [/tex]

------------------------------------------------------

EDIT; hadde problemer underveis med virus eller noe. Takker Markonan

<br /> Kommer når du tar linjeskift i TeX-klammene.

Dette:
[ tex]\text{Her kommer linjeskiftet:}
\text{og der var den...}?[/ tex]

Blir dette:
[tex]\text{Her kommer linjeskiftet:} \text{og der var den...}?[/tex]

Hei, takk for det.
Jeg var kannskje litt uklart: Jeg prøver egentlig å finne en integral av en vektorfunksjon [tex]\vec{F}\vec{n}[/tex] over kuleflaten, hvor [tex]\vec{n}[/tex] er normalen på kuleflaten. Dvs:
[tex]\int_\sigma\vec{F}\vec{n}d\sigma[/tex] hvor sigma er en kule med radius a.
Jeg kom akkurat på at jeg også kan bruke gauss sats på dette (siden en volumintegral er mye lettere å regne med).
Mitt integral hadde da blitt:

[tex]\int_\tau \bigtriangledown\cdot \vec{F} d\tau [/tex] Hvor tau er volumen av kulen.

Ser dere noen feil med dette?