matematikk.net

Er det mulig å greie ut hvorfor arealet til en sirkel er 2 [symbol:pi] r^2?

Det høres jo litt ut som radianer og integrasjon men klarer ikke helt å sette noe sammen i hvert fall

Arealet er [tex]\pi r^2[/tex] og er utledet fra omkretsen. Tenk deg at du deler sirkelen i en masse lag utenpå hverandre. Avstanden fra sentrum til laget kan vi kalle 'u'. Videre finner vi arealet til hvert lag men ettersom vi finner arealet av et lag med tykkelse 'du', som da er null. Dermed legger vi bare sammen en menge omkretser, og integralet er:

[tex]\int_0^{r} 2 \pi u \, du \\ = \left[ (2\pi) \frac{u^2}{2} \right]_{u=0}^{r}\\ = \pi r^2 [/tex]

Hvor r er den totale radius av sirkelen.

Gav dette mening?

Jeg tror jeg hang litt med.

Jeg prøver selv.

Du legger alle sirklene fra null til r utenpå hverandre og kan med formelen for omkrets finne omkretsen til hverenkelt av de. Siden forskjellen mellom de forskjellige omkretsene er så små er denne formelen integrerbar. Når man integrerer får man arealet fra et punkt til et annet ved å bruke bestemt integral. Så da setter man verdien til 0<-->r og får formelen