matematikk.net

Oppgaven lyder som følger:

En sirkel er innskrevet i en regulær n-kant. Bestem med tre desimaler forholdet mellom arealet av mangekanten og arealet av sirkelen når

a) n=10
b) n=18

Jeg lister arealformlene.
[tex]A1 = \pi r^2[/tex]

[tex]A2 = \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot sin A[/tex]

Uansett hva jeg gjør, så kommer jeg ikke frem til fasitsvaret. Kan noen forsøke seg?

En ting du kunne gjøre er å dele n-kanten inn i trekanter med hjørner i sentrum av sirkelen/n-kanten og to nabohjørner på n-kanten. Finn så et uttrykk for sidene du trenger å vite for å bruke arealformelen utifra sirkelens radius, og så skal resten være mer eller mindre plankekjøring.

Hva kom du fram til, og hva sier fasit?

Lister noen hint til deg:

Hvor på sidene tangerer sirkelen n-kanten?
Hva blir diagonalen her?
Nå som du vet dette, kan du dele opp n-kanten i trekanter og finne arealet av den? Sett sirkelens radius til 10, så får du litt spillerom.

Vinkelen du kaller [tex]A[/tex] i arealformelen i starten av tråden, blir i en [tex]n[/tex]-kant:

[tex]\angle A= \frac{360\textdegree}{n}[/tex]

og [tex]a = b = r[/tex] i den samme formelen, der r er radius i sirkelen.

Dette gir:

[tex]A_n = \frac12 r^2 \sin \frac{360^o}{n}[/tex]

Ser du hva du må gjøre videre selv?

Jeg gjorde noe i den duren. Her er fremgangsmåten min:

Jeg satte radius til 10.

[tex]A1 = \pi (10)^2 = 314.1592[/tex]

Jeg vet at sirkelen tangerer midtpunktet til sidene i n-kanten, derfor er høyden lik radien.

Dernest delte jeg opp 10-kanten i 10 trekanter, og vet at hver av dem har en spissvinkel på 36 grader.

Jeg bruker cosinus for å finne "hypotenusen" i denne trekanten.

[tex]cos 18 = \frac {10}{hypotenus}[/tex]

[tex]hypotenus = \frac{10}{cos18} = 10.514622[/tex]

Denne hypotenusen er lik for begge katetene mellom den 36 graders vinkelen. Altså blir arealet av 10-kanten

[tex]A2 = 10\cdot (\frac12 \cdot 10.514622 \cdot 10.514622 \cdot sin 36) = 324.9196962[/tex]

[tex]Forholdet = \frac{A2}{A1} = \frac{324.9196962}{314.1592} = 1.034[/tex]

Edit: Jeg gjorde det på akkurat denne måten, men jeg glemte å dele vinkelen på 36 grader i 2, før jeg fant hypotenusen i den rettvinklede trekanten.

Det må da være en "penere" måte å gjøre dette på?

[tex]A_n = \frac12 r^2 \sin \frac{360^o}{n}[/tex]

Dette er arealet av en av trekantene...

Arealet av en regulær mangekant blir :

[tex]n \cdot A_n[/tex]

Ser du det nå?

Penere?

Forholdet mellom arealet av den innskrevne regulære mangekanten og sirkelen blir:

[tex]\frac{n \cdot \frac12 r^2 \sin \frac{360^o}{n}}{\pi r^2} = \frac{n \cdot \sin \frac{360^o}{n}}{2 \pi}[/tex]

ok?

Ettam:
Vakkert, og jeg forstår hvorfor formelen blir slik. Likevel får jeg ikke korrekt svar når jeg bruker den.

La meg vise deg hva jeg mener:

Arealet av en n-kant er gitt ved

[tex]A_n = n \cdot \frac 12 r^2 sin(\frac{360 \textdegree}{n})[/tex]

Hvis jeg setter n=10 får jeg:

[tex]A_n = 10 \cdot \frac 12 \cdot (10)^2 \cdot sin 36\textdegree = 293.8926[/tex]

Og arealet av sirkelen blir
[tex]A_1 = \pi 10^2 = 314.1592[/tex]

Forholdet blir da:

[tex]\frac{293.8926}{314.1592} = 0.935[/tex]

Og det er ikke i samsvar med fasit...

Hva er fasitsvaret?

[tex]Forholdet = \frac{A2}{A1} = \frac{324.9196962}{314.1592} = 1.034[/tex]

Det jeg fikk til der, altså i post nummer 2 i denne tråden.

Husk at sirkelen er innskrevet i mangekanten, derfor blir radien punktet som treffer senter av ytterkantene.

ok, nå ser jeg feilen jeg gjorde...

Det er sirkelen som er innskrevet i mangekanten og ikke omvendt slik jeg har gjort vent litt så skal jeg finne ut av det...

Ja, jeg skrev det i posten over. Det var den feilen jeg gjorde først også, hehe.

Tegn følgende figur:

Du deler en av trekantene i to langs høyden og får da en rettvinklet trekant med katetene:

[tex]r[/tex] og [tex]r \cdot \tan \frac{A}{2}[/tex]

Da blir arealet av trekanten:

[tex]\frac12 r^2 \tan \frac{A}{2}[/tex]

Så tegner du inn en sirkelbue med radius r passerspissen i den spisse vinkelen [tex]\frac{A}{2}[/tex].

Da er arealet av sirkelsektoren:

[tex]\frac{\pi r^2}{2n}[/tex]

Forholdet mellom trekanten og sirkelsektoren blir:

[tex]\frac{\frac12 r^2 \tan \frac{A}{2}}{\frac{\pi r^2}{2n}} = \frac{n \cdot \tan \frac{A}{2}}{\pi}[/tex]

Siden [tex]\angle A = \frac{360^o}{n}[/tex] får vi:


[tex]\frac{n \cdot \tan \frac{360^o}{2n}}{\pi} = \frac{n \cdot \tan \frac{180^o}{n}}{\pi}[/tex]

Dette forholdet vil være det samme som forholdet som du leter etter. Ser du hvorfor?

Veldig godt forklart, og ja, jeg mener jeg forstår hvorfor

Det er ett punkt jeg synes er vanskelig i forklaringen din, nemlig

[tex]\frac{\frac12 r^2 \tan \frac{A}{2}}{\frac{\pi r^2}{2n}} = \frac{n \cdot \tan \frac{A}{2}}{\pi}[/tex]

Jeg har alltid funnet det vanskelig med brøk over brøk, kan du vise litt grundigere, hvordan den ene leder til den andre?