matematikk.net

Jeg fant en merkelig ting i Rottman (side143):
Vi har at[tex]\int \sin^nx\cos x dx =\frac{1}{n+1}\sin^{n+1}x + C \ \ n \neq -1[/tex]
og at[tex]\int \sin x\cos^m x dx =-\frac{1}{m+1}\cos^{m+1}x + C \ \ m \neq -1[/tex]

Setter vi m=n=1, så har vi
[tex]\int \sin x\cos x dx =\frac{1}{2}\sin^{2}x + C [/tex]
og
[tex]\int \sin x\cos x dx =-\frac{1}{2}\cos^{2}x + C[/tex]

som (etter min mening) betyr at
[tex]\frac{1}{2}\sin^{2}x = -\frac{1}{2}\cos^{2}x\\ \Rightarrow \sin^{2} x + \cos^2x = 0[/tex]
som definitift ikke er sant. Hvor er min tenkefeil?

Hvorfor skulle de to konstantene være like?

Feilen oppstår når du neglisjerer C, vil jeg anta.

Jeg tror det er heller integrasjonsgrensene jeg ikke tenkte på:
[tex]\int_0^x\sin x \cos x dx = [\frac{1}{2}\sin^2x]_0^x = [-\frac{1}{2}\cos^2x]_0^x \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\sin^2x = -\frac{1}{2}\cos^2x + \frac{1}{2} \\ \sin^2x = 1-\cos^2{x}[/tex]

Men takk for hjelpen uansett...