matematikk.net

Jeg sliter litt med en oppgave her.. Noen som kan hjelpe?

Her kommer oppgaven:
a)Hvilket tall er størst av
[symbol:rot] 9+ [symbol:rot] 4 og [symbol:rot] 13
[symbol:rot] 3+ [symbol:rot] 3 og [symbol:rot] 6
[symbol:rot] 86+ [symbol:rot] 28 og [symbol:rot] 114
[symbol:rot] 6,18+ [symbol:rot] 1,57 og [symbol:rot] 7,75

b) Prøv å bevise at det du fant ut om hvilket tall som er størst av [symbol:rot] a+ [symbol:rot] b og [symbol:rot] ab gjelder generelt.

c)Undersøk om du kan si noe tilsvarende for [symbol:rot] a- [symbol:rot] b sammenliknet med [symbol:rot] a-b

Tror denne oppgaven egentlig skal være enkel, men strever likevel. Finner jo ut svarene på a ved hjelp av kalkulator, men finnes det noen måte å gjøre det uten?
Når det gjelder b , hvisket en venn meg i øret at det er lurt å bruke kvadratsetningen , men hvordan kom han fram til det?, og hvordan går man fram?
Blir kjempeglad for all hjelp!!

Tips: Prøv å kvadrere tallene:

[tex](\sqrt{a}+\sqrt{b})^2[/tex]

[tex](\sqrt{a+b})^2[/tex]

Tror du "størrelsesforholdet" (om det ene talle er større/mindre enn det andre) vil endre seg ved kvadrering?

Nei, jeg tror ikke størrelsesforholdet endrer seg ved kvadrering.
Men skjønner fortsatt ikke...

Så regn ut det jeg foreslår.

Først med de tallene i første del, deretter generelt. Bruk kvadratsetninger.

Er vel en skrivefeil der. [tex]\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}[/tex] er vel hva som skal bevises. Det du trenger å gjøre er som sEirik sier, bare å kvadrere begge sider og sammenlikne.

Skrivefeilen så jeg ikke, takk...

Jeg er ikke sEirik

Uhm, det har du rett i! : )

Takk for råd! Skal forsøke:-)
Ang. skrivefeilen er det bare jeg som ikke vet hvordan jeg lager langt kvadratrottegn...

Isadora wrote:Takk for råd! Skal forsøke:-)
Ang. skrivefeilen er det bare jeg som ikke vet hvordan jeg lager langt kvadratrottegn...

\sqrt{a+b}

Synes fortsatt det er vanskelig... Har jeg tenkt riktig hvis jeg mener det er sånn at man kan bruke 1. kvadratsetning i det første tallet men ikke i det andre...? Vet ikke hvordan man skriver opphøyd i andre her heller.. Føler meg fryktelig dum nå! [/code]

Ok.

Jeg skriver først hele oppgaveteksten, uten skrivefeilene:

• a) Hvilket tall er størst av
  [tex]\sqrt{9}+ \sqrt{4}[/tex] og [tex]\sqrt{13}[/tex]
  [tex]\sqrt{3}+ \sqrt{3}[/tex] og [tex]\sqrt{6}[/tex]
  [tex]\sqrt{86}+ \sqrt{28}[/tex] og [tex]\sqrt{114}[/tex]
  [tex]\sqrt{6,18}+ \sqrt{1,57}[/tex] og [tex]\sqrt{7,75}[/tex]
  
  b) Prøv å bevise at det du fant ut om hvilket tall som er størst av [tex]\sqrt{a}+ \sqrt{b}[/tex] og [tex]\sqrt{a+b}[/tex] gjelder generelt.
  
  c) Undersøk om du kan si noe tilsvarende for [tex]\sqrt{a} - \sqrt{b}[/tex] sammenliknet med [tex]\sqrt{a-b}[/tex]

_____________________________________________________________________

a)

Bruker lommeregneren og finner at:

[tex]\sqrt{9}+ \sqrt{4}>\sqrt{13}[/tex]

[tex]\sqrt{3}+ \sqrt{3}>\sqrt{6}[/tex]

[tex]\sqrt{86}+ \sqrt{28}>\sqrt{114}[/tex]

[tex]\sqrt{6,18}+ \sqrt{1,57}>\sqrt{7,75}[/tex]

b)

Ser at:

[tex]9+3=13[/tex]

[tex]3+3=6[/tex]

[tex]86+28=114[/tex]

[tex]6,18+1,57=7,75[/tex]

Derfor er man i denne deloppgaven ute etter å finne ut om dette gjelder generelt.

Er det slik at [tex]\sqrt{a}+ \sqrt{b} > \sqrt{a+b}[/tex] ?

Det er her "trikset" med kvadrering kommer inn, fordi "størrelsesforholdet" (om det ene tallet er større/mindre enn det andre) ikke endres ved kvadrering.

Venstre side i ulikheten:
[tex](\sqrt{a}+ \sqrt{b})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} +2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = a +2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b[/tex]

Høyre side i ulikheten:
[tex](\sqrt{a+b})^2 = a + b[/tex]

Dermed ser vi at: [tex]\sqrt{a}+ \sqrt{b} > \sqrt{a+b}[/tex]

OBS: Dette gjelder så lenge [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] ikke begge samtidig er lik 1 eller 0. Da er ulikheten en likhet. (Som Magnus sa i sitt innlegg).

[tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] må begge være positive (selvsagt fordi du tar kvadratrota av både [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]).

• EDIT: stryk "1 eller" over. Stemmer ikke! Fordi [tex]1+1 \gt \sqrt{2}[/tex]

c)

Prøv på denne selv nå...

oki Dette var virkelig opplysende!! Tror jeg har fattet poenget nå.
Prøver meg på c)

Jeg skal altså undersøke om noe tilsvarende det du fant ut i b også kan gjelde for [symbol:rot] a- [symbol:rot] b og [symbol:rot] a-b (her skulle det være "lang kvadratrot, men jeg får det fortsatt ikke til, selv om jeg forsøker å skrive koden...). Dette gjør jeg også ved hjelp av samme kvadratsetningen, bare med minus istedenfor pluss. I dette tilfellet må a være større enn b, for hvis ikke får jeg et negativt tall under kvadratrottegnet, og dette gir ingen mening.

( [symbol:rot] a- [symbol:rot] b)opphøyd i andre(hvordan skriver jeg det her?) [symbol:rot] a [symbol:rot] b+b
( [symbol:rot] a-b) (lang kvadratrot og opphøyd i andre..)=a-b

Jeg kan ikke se umiddelbart hvilket forhold de to stykkene har til hverandre, derfor velger jeg å sette opp ulikheter slik at jeg kan undersøke hvilken av de to som er større/mindre. Jeg antar først at:

a-2 [symbol:rot] a [symbol:rot] b+b>a-b
a-a-2 [symbol:rot] a [symbol:rot] b+b>(-b)
-2 [symbol:rot] a [symbol:rot] b>(-2b)
[symbol:rot] a [symbol:rot] b<b
[symbol:rot] b [symbol:rot] b=b

Dette kan ikke stemme, fordi at produktet av kvadratroten av a og kvadratroten av b kan ikke være mindre enn b. Siden kvadratroten av a må være større enn kvadratroten av b, må også produktet av de to kvadratrøttene være større enn produktet av kvadratroten av b og kvadratroten av b, det vil si b. Jeg antar det motsatte, og setter opp en annen ulikhet:

a-2 [symbol:rot] a [symbol:rot] b+b<a-b
-2 [symbol:rot] a [symbol:rot] b<(-2b)
[symbol:rot] a [symbol:rot] b>b
[symbol:rot] b [symbol:rot] b=b

Dette stemmer siden a er større enn b. Nå kan jeg si at det generelt gjelder at a- [symbol:rot] a [symbol:rot] b+b<a-b og derved er [symbol:rot] a- [symbol:rot] b< [symbol:rot] a-b (lang kvadratrot)

Har jeg forstått det riktig nå??
Blir veldig glad om noen kan forklare meg nøyaktig hva jeg må gjøre for å få til de kodene. Må nok ha det inn med teskje..

Jepp, dette er riktig.

Bra jobba, Isadora!

Isadora wrote:Blir veldig glad om noen kan forklare meg nøyaktig hva jeg må gjøre for å få til de kodene. Må nok ha det inn med teskje..

Lære deg å skrive i "TeX". Det er det vi bruker her inne. Se på den posten som alltid ligger øverst i dette forumet (VGS).

Som "heter":

• Annonsering : Ny funksjonalitet: avanserte formler og uttrykk

Takk for det
Tenkte å kanskje bruke denne oppg i eksamensmappen min til muntlig, så sendte den til ei venninne som er rasende dyktig med tall. Hun anbefalte meg å utvide den med arealbegrepet, men hadde det for travelt til å forklare noe nærmere.. Hva mente hun tro? Burde jeg gå nærmere inn på kvadratsetningene ved å bruke figurer kanskje?