matematikk.net

Hvis en person lyver, er det 88% sjans for at detektoren avslører dette. Hvis en person snakker sant, er det 14% for at detektoren tar feil.

Et vitne i en kriminalsak testes med en polygraftest.

Testen viser at vitnet juger. Hva er sannsynligheten for at vitnet faktisk juger, hvis sannsynligheten for at vitnet snakker sant er:

a) 1 %
b) 50%
c) 99%

Jeg tenkte slik:
1. Personen snakker sant.
14% for at detektoren tar feil.
86% for at detektoren har rett.

2. Personen lyver.
12% for at detektoren tar feil.
88% for at detektoren har rett.

Konsekventlig, blir løgndetektortestens riktighet gitt ved:
[tex]P(B) = 0.86 \cdot 0.88 = \underline {0.7658}[/tex]

Men nå får jeg store problemer med å holde ting avskildt og forstå hva de faktisk er ute etter. Jeg antar at jeg må bruke Bayes' setning, men jeg forstår ikke hvordan jeg skal ressonnere her.

Edit:
Har tenkt litt på oppgaven siden sist, og kommet frem med følgende logikk.

Gitte opplysninger:
1. Testen hevder personen lyver.
2. Det er 1% sannsynlig at personen snakker sant.
3. Hva er sannsynligheten for at han lyver.

Jfr pkt 2 og komplementersetningen, vet vi at når det er 1% sannsynlig at personen snakker sant, så er det også 99% sjans for at han lyver.

Når folk lyver, er det 12% sjans for at løgndetektoren tar feil.

Når folk snakker sant, er det 14% sjans for at polygrafen tar feil.

Total sannsynlighet for at løgndetektoren tar feil er derfor:

A: Personen lyver
B: Feilmargin
C: Total sannsynlighet

[tex]P(C) = P(A) \cdot P(B|A) + P(ikke A) \cdot P(B| ikke A) = \frac{99}{100} \cdot \frac{12}{100} + \frac{1}{100} \cdot \frac{14}{100} = \frac{1188 + 14}{10000} = \Large \underline{\underline{ \frac{1202}{10000}}}[/tex]

Nå vet vi den totale sannsynligheten for at løgndetektoren gir feil svar, og følgelig kan vi bruke Bayes' setning.

D = Personen lyver
E = Detektoren har rett

[tex]P(D|E) = \frac{P(D) \cdot P(E|D)}{P(C)} = \frac{\frac{99}{100} \cdot \frac{88}{100}}{\frac{1202}{10000}} = \frac{\frac{8712}{10000}}{\frac{1202}{10000}}[/tex]

Nei, dette blir feil. Sannsynligheten blir jo større enn 1.

Det letteste her ville nok være å lage et valgtre.

Problemet er at jeg ikke ser sammenhengen, det blir for mange variabler om hva som er hva, til at jeg klarer å tenke klart. Valgtre blir umulig, når jeg ikke klarer å definere hva som påvirker hva, hehe.

Jeg er ikke noe sterk på sannsynlighet, men halve oppgaven er å sette sannsynlighetene i system.
(Jeg tror du må bruke både Bayes setning, og setningen om total sannsynlighet her.)

L = personen lyver.
I = Detektoren indikerer at personen lyver.

[tex]P(L) = 0,01 \\ P(\overline{L}) = 0,99[/tex]

[tex]P(I|L) = 0,88 \\ P(\overline{I}|L) = 0,12[/tex]

[tex]P(I|L) = 0,86 \\ P(I|\overline{L}) = 0,14[/tex]

Testen viser at vitnet juger. Hva er sannsynligheten for at vitnet faktisk juger, hvis sannsynligheten for at vitnet snakker sant er:

Hvis du holder tunga bent i munnen når du leser denne setningen, vet du at du skal finne sannsynligheten av:

[tex]P(L|I) = \frac{P(L) \cdot P(I|L)}{P(I)}[/tex]

Nå tror jeg du må bruke setningen om total sannsynlighet.

Takker for svar, jeg har sittet og tuklet med den på papir nå. Her er besvarelsen:

Dette stemmer med fasit?

Ja, utrolig nok! Ser det er flere som har spurt etter samme stykket her tidligere, så jeg publiserte den løsningen slik at andre kan finne den senere