matematikk.net

Sliter litt med en oppgave...

En gjenstand starter i origo og følger en bane gitt ved vektorfunksjonen

r(t) = [0,5t cos t, 0,5t sin t] 0<t

Regn ut lengden av den buen gjenstanden flytter seg langs i løpet av de fem første omdreiningene...

Jeg vet at én måte å løse denne på er å først derivere r(t)

r' (t) = [0,5cos t - 0,5t sin t , 0,5sin t + 0,5t cos t]

så regne ut absoluttverdien av r '(t)

|r'(t)| = [rot][/rot]( (0,5cos t - 0,5t sin t)² + (0,5sin t + 0,5t cos t)² )

og så finne det bestemte integralet av dette fra 0 til 10[pi][/pi], siden t øker med 2[pi][/pi] per omdreining og det er 5 omdreininger totalt.

Men jeg klarer ikke å skrive om avsoluttverdien av r'(t) til noe integrerbart...

Kommer ikke på hvordan jeg ville løst det selv i VGS, men i hvertfall kan du benytte kvadratsetningene og den trigonometriske identiteten sin[sup]2[/sup]t+cos[sup]2[/sup]t=1 og få integralet
[rot][/rot](0,25)[itgl][/itgl][rot][/rot](t[sup]2[/sup]+1)dt
Dette er i hvertfall integrerbart ved hjelp av en invers tangenssubstitusjon.
I dette tilfellet t=tan(x)[rot][/rot]

Invers tangenssubstitusjon?

Hvordan bruker du kvadratsetningene til å få 0,5cos t - 0,5t sin t , 0,5sin t + 0,5t cos t til å bli [rot][/rot]1/4 * [rot][/rot](t^2 + 1)?

Never mind... Fant det ut