matematikk.net

Hei sitter og øver til tentamen og har virkelig et problem med en av oppgavene. Jeg har et paralellogram hvor AB vektor = a vektor, og AD vektor = b vektor. lengden av a vektor er 5 og lengden av b vektor er 4. Vinkelen mellom disse er 30 grader. Jeg skal så finne lengden av AC vektor, som jeg har kommet til er det samme som a-vektor + b-vektor. Noen som kan hjelpe?

Det første jeg kommer på er cosinussetningen, men sikkert andre måter å gjøre det på.

Parallellogramet ABCD.

[tex]|\vec {AB}| = |\vec a| = 5 \\ |\vec{AD}| = |\vec b| = 4 \\ (\vec a, \vec b) = 30\textdegree[/tex]

[tex]\vec {AC} = \vec c[/tex]

Du ser at [tex]\vec c[/tex] er en diagonal i parallellogrammet, da er [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] komponentene til denne.

Samtidig vet vi at

[tex]\vec {AB} = \vec{DC}[/tex]

Vinkelen ADC i parallellogrammet er [tex]150\textdegree[/tex]

[tex]AC^2 = AD^2 + DC^2 -2 AD \cdot DC \cdot cos(ADC)[/tex]

[tex]AC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos(150\textdegree)[/tex]

[tex]AC^2 = 41 - (-34.641)[/tex]

[tex]AC^{\cancel 2} = \sqrt {75.641}[/tex]

[tex]\underline{\underline{AC \approx 8.7}}[/tex]

En alternativ fremgangsmåte (som også "indirekte" involverer cosinussetningen) er å benytte at [tex]|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v}|^2} = \sqrt{\vec{v}^2}[/tex]:

[tex]\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}[/tex]

[tex]|\vec{AC}| = \sqrt{\vec{AC}^2} = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\vec{b} + |\vec{b}|^2}[/tex].

Vi vet alt vi trenger for å rekne ut dette:

[tex]|\vec{AC}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(30^\circ) + |\vec{b}|^2} = \sqrt{25 + 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos (30^\circ) + 16} = \sqrt{75.641} \approx 8.7[/tex]

Mye flottere måte å gjøre det på, Vektormannen, men kan du forklare meg hvorfor

[tex]|u| = \sqrt {|\vec u|^2} = \sqrt {\vec u^2}[/tex]

Vektormannen wrote:En alternativ fremgangsmåte

"Alternativ"??

Dette var vel egentlig ikke noe annet enn cosinussetningen

Ja, jeg sa jo det. Kan godt fjerne "alternativ" om du vil.

EDIT: nei, fremgangsmåten er jo faktisk ikke den samme, selv om begge metodene kanskje er matematisk ekvivalente.

Vektormannen, du ser i feil retningsvektor. Vil du besvare spørsmålet mitt om hvorfor [tex]|\vec v| = \sqrt{|\vec v|^2} = \sqrt{\vec v^2}[/tex] ???

bevis det selv:
la v=[a,b],
finn |v|, og så |v|^2
finn v * v (skalarproduktet)

Hva kan du konkludere med?

Vektormannen wrote:Ja, jeg sa jo det. Kan godt fjerne "alternativ" om du vil.

EDIT: nei, fremgangsmåten er jo faktisk ikke den samme, selv om begge metodene kanskje er matematisk ekvivalente.

La oss utlede cosinussetningen:

La trekant ABC være slik at:
[tex]\vec{AB}=\vec a[/tex], [tex]\vec{BC} = \vec b[/tex] og [tex]\vec{AC} = \vec c[/tex]

Da vil [tex]\angle (\vec a, \vec b) = 180\textdegree - \angle (AB,BC)[/tex]

Vi får da:

[tex](\vec c)^2 = (\vec a + \vec b)^2 = (\vec a)^2 + (\vec b)^2 + 2 \vec a \cdot \vec b[/tex]

[tex]|\vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2 |\vec a||\vec b|cos \angle (\vec a, \vec b)[/tex]

slik at:

[tex]|\vec {AC}|^2 = |\vec {AB}|^2 + |\vec {BC}|^2 + 2 |\vec {AB}||\vec {BC}|cos \angle (180\textdegree - \angle (AB,BC))[/tex]

Generelt gjelder at [tex]cos (180\textdegree-v) = - cos v[/tex] og derfor får vi:

[tex]|\vec {AC}|^2 = |\vec {AB}|^2 + |\vec {BC}|^2 - 2 |\vec {AB}||\vec {BC}|cos \angle (\angle (AB,BC)[/tex] Dette er dette som kalles cosinussetningen.

Dermed ser vi at vektormannens metode er den samme som cosinussetningen.

Det har jeg jo sagt i den første posten i denne tråden. Poenget mitt var at fremgangsmåten min er forskjellig fra å benytte cosinussetningen direkte. Å kvadrere vektoren og ta roten av det, krever ikke at du vet om cosinussetningen en gang, selv om du benytter den i utrekningen.

ok, du har rett