Buelengder

[espen180]

Jeg har - uten å se på noen formler eller lest noe som helst om emnet - forsøkt å finne alle firkantens og en omkrevne sirkelens egenskaper kun ved å vite buelengdene mellom punktene.

Se bilde:


Dette har jeg kommet fram til:
Sirkelen:
[tex]O=r2\pi=b_{ab}+b_{bc}+b_{cd}+b_{ad} \\ r=\frac{b_{ab}+b_{bc}+b_{cd}+b_{ad}}{2\pi} \\ A=\pi\left(\frac{b_{ab}+b_{bc}+b_{cd}+b_{ad}}{2\pi}\right)^2[/tex]

Firkanten:
[tex]AB=\sqrt{2r^2-2r^2 cos(\frac{b_{ab}}{O}\cdot 360)}[/tex] osv.

Hvordan kan jeg så finne firkantens vinkler? Jeg husker ikke om det finnes en trigonometrisk måte å finne vinklene i en firkant der kan kjenner alle sidene. Kan noen hjelpe meg?

[mrcreosote]

Hvordan kan jeg så finne firkantens vinkler? Jeg husker ikke om det finnes en trigonometrisk måte å finne vinklene i en firkant der kan kjenner alle sidene. Kan noen hjelpe meg?

Vinklene i en vilkårlig firkant er ikke bestemt av sidelengdene, tenk bare på et kvadrat og en rombe. Men når du har tilleggsbetingelsen at firkanten er syklisk som her går det bra: Tegn opp en diagonal i firkanten og bruk cosinussetninga 2 ganger, for eksempel på trekantene ABC og ACD med diagonalen AC som den spesielle sida. Derfra kan du enkelt finne uttrykk for vinklene beta og delta.

[espen180]

Hei mrcreosote.

Tusen takk for raskt svar.
Jeg har kun ett spørsmål. Hvordan finner jeg diagonalen i firkanten når jeg ikke har noen vinkler å bruke cosinussetningen med?

På forhånd takk.

[mrcreosote]

Du bruker cosinussetninga med den vinkelen du ønsker å finne. Se på diagonalen AC, denne er side i trekantene ABC og ACD. Vi har dermed [tex]AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\beta = CD^2+DA^2-2\cdot CD\cdot DA\cdot\cos\delta[/tex]. Men siden firkanten er syklisk er [tex]\beta+\delta=\pi[/tex], så [tex]\cos\delta=-\cos\beta[/tex], og da har du ei lineær ligning i [tex]\cos\beta[/tex]. (Diagonalen er bare en hjelpestørrelse.) Deretter kan du sette inn uttrykka for AB, BC, CD og DA, men det virker som du i så fall må være beredt på litt skitt på skjorta.

[espen180]

Da får jeg altså [tex]AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\beta = CD^2+DA^2-2\cdot CD\cdot DA\cdot-\cos\beta[/tex]. Men hvordan kan jeg løse denne? Jeg har ingen felles variabler untall [tex]\cos\beta[/tex]. Kan man løse denne uten å sette inn verdier for AB, BC, CD og DA?

[tex]2\cdot CD\cdot DA\cdot-\cos\beta-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\beta=CD^2+DA^2-(AB^2+BC^2)[/tex] ?

[mrcreosote]

Betrakt cos beta som den ukjente og løs ligninga med hensyn på den:

[tex]AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\beta = CD^2+DA^2-2\cdot CD\cdot DA\cdot(-\cos\beta) \\ AB^2+BC^2-CD^2-DA^2 = 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\beta+2\cdot CD\cdot DA\cdot\cos\beta \\ \cos\beta = \frac12\cdot\frac{AB^2+BC^2-CD^2-DA^2}{AB\cdot BC+CD\cdot DA}[/tex]

Sidene AB, BC, CD og DA fant du uttrykk for i første innlegget ditt, så nå kan du sette inn disse og regne videre på uttrykket til kuene kommer hjem.

(Det finnes en enklere metode å komme fram til svaret på, men du kan jo fortsette og se om du får det samme.)