matematikk.net

Jeg holder på å forberedre meg til eksamen.
Jeg lurer på når er det man kan bruke bueformel? Er det for en hvilken som helst vektor i planet og rommet?

Hvis du har en glatt kurve på formen [tex]\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))[/tex] kan du bruke bueformelen.


Glatt kurve:
1) [tex]\frac{d\vec{r}}{dt}[/tex] er kontinuerlig.
2) [tex]\frac{d\vec{r}}{dt}[/tex] er aldri lik [tex]\vec{0}[/tex]

Det vil si at den må være litt kurvet? Altså en gunksjon av sinus, cosinus eller annengrads x?


Hva betyr dr/dt. R er jo posisjonsvektoren? Det ser jo og ut som substitusjon men ikke vanlig du=dx u' dx=du/u'.

Altså - antar du har en posisjonsvektor som forandrer seg med tiden, for eksempel [tex]\vec{r}(t) = (0,t,t)[/tex] 0<= t <= 1, eller noe.

Da er dr/dt lik den deriverte mhp tiden. Du har kanskje mer kjent med det på denne formen:

x = 0
y = t
z = t

dr/dt er da

dx/dt = 0
dy/dt = y' = 1
dz/dt = z' = 1

Her må hver av disse komponentene være kontinuerlig. Og det er de åpenbart, og de må heller aldri være lik 0 på samme tid.

F.eks hvis vi lar
x = r*cos t
y = r*sin

Der r er positiv reell.

dx/dt = - r*sin t
dy/dt = r*cos t

Er begge komponentene kontinuerlige? Ja - man vet at sinus og cosinus er kontinuerlige funksjoner. Kan -r*sin t og r*cos t være simultant lik 0? Nei, dermed kan vi bruke formelen. Da du går på VGS vil du nok ikke trenge å sjekke dette, men siden du spør får du svar.

Så - la oss si at 0<= t <= 2pi. Vi traverserer altså en sirkel! La oss sjekke om buelengden stemmer overens med det vi er vant til.

[tex]L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2\sin^2t + r^2\cos^2t}dt = \int_{0}^{2\pi}|r|dt[/tex]

Har brukt at sin^2 + cos^2 = 1, og at bruker nå at r>0, slik at |r| = r.

Dermed [tex]L = r\cdot \int_{0}^{2\pi}dt = 2\pi\cdot r[/tex]

Som vi kjenner igjen fra grunnskolen.