Derivasjonsoppgave
Posted: 19/05-2008 09:14
Et kloakkrenseanlegg slipper ved et uhell urenset kloakk ut i en innsjø. Utslippet pågår noen dager, og dette reduserer oksygenmengden i vannet.
Oksygenmengden t dager etter utslippet, kan tilnærmet beskrives av funksjonen f gitt ved:
[tex]f(t) = 1 - \frac{10t}{(t+10)^2}\,\,\, t \in [0,30][/tex]
a) Lag en skisse av grafen til f
b) Bestem forandringen av oksygeninnholdet i innsjøen (målt i enheter per dag) ved t = 5 og t=15
[tex]f\prime(t) = (1)\prime - \frac{(10t)\prime \cdot (t+10)^2 - (10t) \cdot (t+10)^2\prime}{\left((10+t)^2\right)^2} \Rightarrow - \frac{10(t+10)^2 - 10t \cdot 2 \cdot (t+10)}{(10+t)^{2\cdot 2}} \Rightarrow \\ -\frac{10(t+10)^{\cancel 2} - 20t\cancel{(t+10)}}{(10+t)^{\cancel 4}} \Rightarrow - \frac{10t + 100 - 20t}{(10+t)^3} \Rightarrow \frac{20t -10t -100}{(10+t)^3} \Rightarrow \underline{ \frac{10(t -10)}{(10+t)^3}}[/tex]
[tex]f\prime(5) = \underline{\underline{-0.014}} \\ f\prime(15) = \underline{\underline{-0.0032}}[/tex]
c) Vis ved derivasjon at oksygenmengden i vannet er minst etter 10 dager.
Her tolker jeg at de er ute etter bunnpunktet for f(x), og det er jo som kjent når f'(x) = 0. Problemet mitt er at jeg ikke vet hvordan jeg skal gjøre dette når den deriverte er en brøk. Da snakker jeg generelt.
Jeg ser at jeg kan:
[tex]10(t - 10) = 0 \Rightarrow 10t = 100 \\ t=\underline{10}[/tex]
men gjelder dette generelt for alle deriverte med brøk? Altså at teller ikke har noe å si, dersom man er ute etter når den deriverte krysser x-aksen?
Oksygenmengden t dager etter utslippet, kan tilnærmet beskrives av funksjonen f gitt ved:
[tex]f(t) = 1 - \frac{10t}{(t+10)^2}\,\,\, t \in [0,30][/tex]
a) Lag en skisse av grafen til f
b) Bestem forandringen av oksygeninnholdet i innsjøen (målt i enheter per dag) ved t = 5 og t=15
[tex]f\prime(t) = (1)\prime - \frac{(10t)\prime \cdot (t+10)^2 - (10t) \cdot (t+10)^2\prime}{\left((10+t)^2\right)^2} \Rightarrow - \frac{10(t+10)^2 - 10t \cdot 2 \cdot (t+10)}{(10+t)^{2\cdot 2}} \Rightarrow \\ -\frac{10(t+10)^{\cancel 2} - 20t\cancel{(t+10)}}{(10+t)^{\cancel 4}} \Rightarrow - \frac{10t + 100 - 20t}{(10+t)^3} \Rightarrow \frac{20t -10t -100}{(10+t)^3} \Rightarrow \underline{ \frac{10(t -10)}{(10+t)^3}}[/tex]
[tex]f\prime(5) = \underline{\underline{-0.014}} \\ f\prime(15) = \underline{\underline{-0.0032}}[/tex]
c) Vis ved derivasjon at oksygenmengden i vannet er minst etter 10 dager.
Her tolker jeg at de er ute etter bunnpunktet for f(x), og det er jo som kjent når f'(x) = 0. Problemet mitt er at jeg ikke vet hvordan jeg skal gjøre dette når den deriverte er en brøk. Da snakker jeg generelt.
Jeg ser at jeg kan:
[tex]10(t - 10) = 0 \Rightarrow 10t = 100 \\ t=\underline{10}[/tex]
men gjelder dette generelt for alle deriverte med brøk? Altså at teller ikke har noe å si, dersom man er ute etter når den deriverte krysser x-aksen?
