matematikk.net

Hei. Jeg har forsøkt meg litt på denne oppgaven, men får den ikke til. Er det derfor noen som kan løse den for meg, slik at jeg kan få sett fremgangsmåten.

Oppgave 8.234
Rett etter midnatt kom det et kraftig regnvær i nærheten av en stor elv. x timer etter midnatt var vannstanden i elva f(x) cm over det normale, der

f(x) = -15(ln x)^2 + 45 ln x

x element [1, 21}.

a) Finn ved regning når vannstanden var på det høyeste. Hvor mange centimeter over det normale var vannstaden da?

b Når var vannstanden tilbake på det normale?

a) Når er vannstanden høyest? Når grafen har nådd et topp-punkt. Når har funksjonen nådd et topp-punkt? Svar: Når den deriverte er 0.

[tex]f(x) = -15(ln x)^2 + 45 ln x \,\,\, x \in [1, 21][/tex]

[tex]f\prime(x) = -15(u)^2\prime + 45lnx\prime \,\,\,\, der\, u=ln x\\ \, \\ \, \\ f\prime(x) = -15\cdot 2(u) \cdot u\prime + 45 (lnx)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = -30 lnx \cdot \frac 1x + 45 \cdot \frac 1x \\ \, \\ f\prime(x) = \frac{45 - 30ln x}{x}[/tex]

Når er den deriverte 0?

[tex]45 - 30lnx = 0 \\ \, \\ -30lnx = -45 \\ \, \\ lnx = \frac 32 \\ \, \\ x = e^{\frac 32} \approx 4.4817[/tex]

Etter 4.5 timer var vannstanden høyest. Den var da:

[tex]f(4.4817) = 33.75[/tex]

33.75 cm over det normale.

b)

Vannstanden er tilbake på det normale, når funksjonen er 0.

[tex]f(x) = 0[/tex]

[tex]-15(ln x)^2 + 45 ln x = 0[/tex]

[tex]-15(u)^2 + 45u = 0\,\,\,\,\,\, der\, u = lnx \\ \, \\ 45u - 15u^2 = 0\\ \, \\ 3u - u^2 = 0 \\ \, \\ -u(u - 3) = 0 \\ \, \\ \underline{u = 0} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{u = 3} \\ \, \\ \, \\ \, \\ lnx = 0 \,\,\, \vee \,\,\, lnx = 3 \\ \, \\ x = e^0 \,\,\, \vee \,\,\, x = e^3 \\ \, \\ \underline{x = 1} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{x_2 = 20.08}[/tex]

Funksjonen gjelder i intervallet [tex]x \in [1,21][/tex] derfor er [tex]x_2[/tex] riktig.

Vi vet at vannstanden er tilbake til normalen etter ca 20 timer.