Page 1 of 1

Vektorregning 2MX, jeg løser.

Posted: 25/05-2008 22:56
by MatteNoob
Hei.

Jeg har snart eksamen, og derfor velger jeg å løse noen vektoroppgaver og legger dem her. Oppgavene er fra 2mx matematikkboken fra Aschoug forlag.

Der jeg ikke klarer å regne ut, markerer jeg med rødt, og håper dere kan bidra. Jeg kryss-sjekker også egne svar mot fasit, og dersom jeg ikke forstår hvordan jeg skal regne en oppgave, legger jeg ved fasitsvaret.

Jeg lager en ny post for hver oppgave, slik at jeg tap av alle oppgavene ved et eventuelt strømbrudd, hehe.

Image

a)

Fordi:
[tex]\vec{AB} \, \parallel \, k\cdot \vec{DC}[/tex]

En vektor har lengde og retning. Når to vektorer har samme retning, men ikke er like lange, sier vi at de er ensrettet. For at de skal være like, må vi multiplisere den ene av vektorene med en skalar (et tall) k, slik at at de blir like.

[tex]\vec{AB} = k\cdot \vec{DC} \\ \, \\ |\vec{AB}| = k\cdot |\vec{DC}|\\ \, \\ 9 = 4k \\ \, \\ \underline{\underline{k = \frac 94}}[/tex]

a.1)
[tex](\vec {AD}, \vec{AB}) =\underline{\underline{ 60\textdegree}}[/tex]

a.2)
[tex](\vec {AB}, \vec{BC}) = 180\textdegree - 45\textdegree =\underline{\underline{ 135\textdegree}}[/tex]

a.3)

[tex](\vec {DA}, \vec{AB}) = 180\textdegree - 60\textdegree =\underline{\underline{ 120\textdegree}}[/tex]

c.1)

[tex]\vec {AB} + \vec{BC} = \underline{\underline{\vec{AC}}}[/tex]

c.2)

[tex]\vec{AD} + \vec{DB} = \underline{\underline{\vec{AB}}}[/tex]

d.1)

[tex]\vec {AD} - \vec{AB} = \vec{AD} + (-\vec{AB}) = \underline{\underline{\vec {BD}}}[/tex]

d.2)

[tex]\vec {AC} - \vec{AB} - \vec{BA} = \vec {AC} + (-\vec{AB}) + (-\vec{BA}) = \vec {AC} + \vec{BA} + \vec{AB} = \underline{\underline{\vec {AC}}}[/tex]

Posted: 25/05-2008 23:26
by MatteNoob
Image

a)
Jeg orker ikke å tegne figur nå.

[tex]B\aa tens fart = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \underline{\underline{5\, m/s}}[/tex]

b)

[tex]tan \angle \theta = \frac 34 \\ \, \\ \angle \theta = tan^{-1}(\frac 34) = \underline{36.869\textdegree} \\ \, \\ \, \\ 90\textdegree - \angle \theta \approx\underline{\underline{ 53.1\textdegree}}[/tex]

Posted: 26/05-2008 00:00
by MatteNoob
Image
Image

a.1)

[tex]\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\vec a, \vec b) = 8.5 \cdot 2.5 \cdot cos (42.5\textdegree) \approx \underline{\underline{15.67}}[/tex]

a.2)

[tex]\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\vec a, \vec b) = 8.5 \cdot 2.5 \cdot cos(137.5\textdegree) \approx \underline{\underline{-15.67}}[/tex]

b.1)

[tex]|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\vec a, \vec b) = 8.6 \\ \, \\ cos(\vec a, \vec b) = \frac{8.6}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ \, \\ (\vec a, \vec b) = cos^{-1}(\frac{8.6}{3.5 \cdot 4.0}) \\ \, \\ (\vec a, \vec b) \approx \underline{\underline{52.1\textdegree}} [/tex]

b.2)

[tex](\vec a, \vec b) = cos^{-1}(- \frac{8.6}{3.5 \cdot 4,0}) \\ \, \\ (\vec a, \vec b) \approx \underline{\underline{127.9\textdegree}}[/tex]

c.1)

[tex]\vec F \cdot \vec s = |\vec F| \cdot |\vec S| \cdot cos(\vec F, \vec s) = 1500N \cdot 50 m \cdot cos(60\textdegree) = 37500 Nm = 37500 J = \underline{\underline{37.5kJ}}[/tex]

c.2)

[tex]\vec F\cdot \vec s = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot cos(\vec F, \vec s) = 1500N \cdot 50m \cdot cos(45\textdegree) \approx 53000Nm = 53000J = \underline{\underline{53kJ}}[/tex]

Posted: 26/05-2008 00:29
by MatteNoob
Image

a)

[tex]\vec{AB} = [1 - (-3), -2 - (-2)] = \underline{\underline{ [4, 0]}} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \vec{AC} = [3-(-3), 3-(-2)] = \underline{\underline{[6, 5]}}[/tex]

b)

[tex]F.eks\, [6, 5] \,\,\, der \, a=\frac 56[/tex]

Nedenfor har jeg laget en parameterfremstilling for linjen l. Dette kreves ikke av oppgaven, men jeg gjorde det likevel.

[tex]l = \vec{AC} \cdot t \\ \, \\ [x - (-3), y -(-2)] = [6,5] \cdot t \\ \, \\ [x + 3, y + 2] = [1, \frac 56] \cdot t \\ \, \\ [x+3, y +2] = [t, \frac 56 t] \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ l: \left\{\text{x=t-3\\ \\y=\frac 56t-2}\right[/tex]

Posted: 26/05-2008 00:53
by MatteNoob
Image

a.1)
[tex][2, -1] + [4, 3] = [2 + 3, -1 + 3] = \underline{\underline{[5, 2]}}[/tex]

a.2)
[tex][-4, 3] - [7, 5] = [-4 - 7, 3-5] = \underline{\underline{[-11, -2]}}[/tex]

b)
[tex][x-1, y] + 3\cdot[1+x, 2] = [10, -3] \\ \, \\ x-1 + 3(1+x) = 10 \,\,\, \wedge \,\,\, y + 3\cdot 2 = -3 \\ \, \\ \underline{\underline{x=4}} \,\,\, \wedge\,\,\, \underline{\underline{y = -\frac 12}}[/tex]

c.1)

[tex]\vec a = [12, t+3] \\ \, \\ \vec b = [3,7][/tex]

[tex]\vec a \, \parallel \, \vec b \cdot k \\ \, \\ [12, t+3] \, \parallel \, [3, 7] \cdot k\\ \, \\ 12 = 3k \,\,\, \wedge \,\,\, t+3 = 7k \\ \, \\ k = 4 \,\,\, \rightarrow \, \, \, t = 7 \cdot 4 - 3 = \underline{\underline{25}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode:

[tex]\frac{(t+3)}{7} = \frac{12}{3} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kryss-multipliserer \\ \, \\ 3(t+3) = 84 \\ \, \\ 3t = 84-9 \\ \, \\ t = \frac{75}{3} = \underline{\underline{25}}[/tex]

c.2)

Vi vet at
[tex]\vec{AB} = [4, 0] \,\,\, og\,\,\, \vec{BC} = [2, 5][/tex]

[tex]\left(\vec{AB} + s \cdot \vec{BC}\right) \, \parallel\, [2, 5] \cdot k \\ \, \\ [4,0] + [6s, 5s] = [2k, 5k] \\ \, \\ [4 + 6s, 5s] = [2k, 5k] \\ \, \\ \, \\ dette\, gir\, likningssettet \\ \, \\ 4+6s = 2k \,\,\, \wedge \,\,\, 5s = 5k \\ \, \\ k = \frac{4+6s}{2} \,\,\, \rightarrow\,\,\, 5s = 5\left(\frac{4+6s}{2}\right) \\ \ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5s = \frac{20 + 30s}{2} \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5s = 10 + 15s \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, s = \frac{10}{-10} \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \underline{\underline{s =-1}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode (denne foretrekker jeg):


[tex]\frac{5s}{5} = \frac{(4+6s)}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kryss-multipliserer \\ \, \\ 5s \cdot 2 = 5(4+6s) \\ \, \\ 10s = 20 + 30s \\ \, \\ s = \frac{20}{-20} \\ \, \\ \underline{\underline{s = -1}}[/tex]

Vi selvfølgelig ikke kryssmultiplisere, vi kunne også ha:

[tex]\frac{5s}{5} = \frac{4+6s}{2} \\ \, \\ s = 2 + 3 s \\ \, \\ -2s = 2 \\ \, \\ s = \frac{2}{-2} \\ \, \\ \underline{\underline{s = -1}}[/tex]

Posted: 26/05-2008 02:06
by MatteNoob
Image

a)

[tex]|\vec u| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt {40} = \underline{\underline{2\sqrt{10}}[/tex]

[tex]|\vec v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \underline{\underline{5}}[/tex]

b)

[tex]\vec u \cdot \vec v = [6, 2] \cdot [3, 4] = 18 + 8 =\underline{\underline{24}}[/tex]

[tex]cos(\vec u, \vec v) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|} \\ \, \\ \, \\ cos(\vec u, \vec v) = \frac{[6,2]\cdot[3,4]}{\sqrt{6^2 + 2^4} \cdot \sqrt{3^2 + 4^2}} \\ \, \\ cos(\vec u, \vec v) = \frac{18}{10\sqrt{10}} \\ \, \\ \, \\ (\vec u , \vec v) = cos^{-1}\left(\frac{18}{10\sqrt{10}}\right) \approx \underline{\underline{55.3\textdegree}}[/tex]

b)

[tex][-2, t] \, \perp \vec u \,\,\,\,\, n\aa r\, skalarproduktet\, er \, 0\, er\, st\aa r\, vektorene\, vinkelrett\, p\aa \, hverandre\\ \, \\ \, \\ [-2, t] \cdot [6,2] = 0 \\ \, \\ -12 + 2t = 0 \\ \, \\ 2t = 12 \\ \, \\ \underline{\underline{t = 6}}[/tex]

b)
[tex][-2s, 3s] \, \perp \, \vec v \\ \, \\ [-2s, 3s] \cdot [3, 4] = 0 \\ \, \\ -6s + 12s = 0\\ \, \\ s = 0 \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{Ja, \, dersom\, s = 0\, for\, \vec 0\, st\aa r\, vinkelrett\, p\aa\, alle\, vektorer.}}[/tex]