matematikk.net

Eksamen i morgen, og er litt usikker på denne ene oppgaven blandt eksempeloppgavene. Dere kan sikkert hjelpe meg?

En partikkel beveger seg i planet. Posisjonen til partikkelen ved tiden t er gitt ved
[tex] \vec r(t) = [t^2 ,t^3 - 3t] [/tex]

a) Tegn grafen som beskriver bevegelsen til partikkelen.
Dette er lett nok.

b) Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og koordinataksene.
Dette er vel bare å sette x=0 og y=0, for så og fylle inn. Får at grafen krysser y-aksen i origo og at x-aksen krysser i origo og (3,0)

c) Finn et utrykk for fartsvektoren. Hva er t når [tex] \left| {\vec v(t)} \right| = 3 [/tex] ?

Sette lengden av vektor i et koordinatsystem lik 3, så regne ut (mye utregning)
Får
t=0
t=[symbol:plussminus][symbol:rot] 14/9 (her ville ikke tex fungere, hmm)
Men hvertfall, -[symbol:rot]14/9 er utenfor definisjonsmengden til t, så det blir bare [symbol:rot]14/9


d) Bestem koordinatene til de punktene på kurven der fartsvektoren er parallell med koordinataksene.

Dette trenger jeg litt hjelp med.


e) Bestem koordinatene til det punktet der farten er minst.

Kan jeg løse denne ved å finne vendepunktet til grafen?

d)
Finner først den fartsvektoren(den deriverte av r(t)):
[tex] v(t) = [2t, 3t^2 -3] [/tex]

Setter så x=0 og y=0

[tex] 2t = 0 \\ t = 0 [/tex]
[tex] 3t^2 - 3 = 0 \\ t = 1 [/tex]

Setter så disse t-verdiene inn i r(t)

[tex] r(0) = [0,0] \\ r(1) = [1,-2] [/tex]

Dette gir da punktene [tex] (0,0) \ \ og \ \ (1,-2) [/tex]

Oppgave d:

Den er jo forholdsvis enkel å se. Da skal det var en verdi t, slik at v(t) er parallell med enhetsvektorene [tex]\vec i = [1,0]\, og\, \vec j = [0,1][/tex]. Det vil si at man skal kunne skrive [tex]v(t) = x\vec i\, og\, v(t) = x\vec j[/tex].

I denne er det jo forholdsvis enkelt å se, synes nå jeg da. Men man kan jo alltids regne det ut, ved å si man vil finne når v(t) er normalt på den motsatte enhetsvektoren.

Oppgave e:
Lag et funksjonsutrykk for farten. Deriver svaret som er under kvadratroten for å finne bunnpunkt(ene). Dette gir deg t når farten er minst.