matematikk.net

Hei.

Jeg sliter med en oppgave i sannsynlighet og trenger sårt litt hjelp.

Fabrikk A produserer 70% av den totale produksjonen av en komponent, mens fabrikk B produserer de resterende 30%. Fra fabrikk A er det feil på 6% av komponentene, mens det er feil på 8% av komponentene fra B.

a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt komponent er feilfri?

b) En komponent trekkes tilfeldig ut og viser seg å være feilfri. Hva er sannsynligheten for at komponenten er produsert ved fabrikk A?

a)
Når du skal finne når den er feilfri, må du ta(tror jeg):

F: feilfri

[tex]P(F) = P(F|A) \cdot P(A) \ + \ P(F|B) \cdot P(B)[/tex]

[tex] P(F) = 0,7 \cdot (1-0,06) + 0,3 \cdot (1-0,08) [/tex]

b)


[tex]P\left( {A|F} \right) = \frac{{P\left( {A \cap F} \right)}}{{P\left( F \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {F|A} \right)}}{{P\left( F \right)}} = \frac{{0.7 \cdot 0.94}}{a}[/tex]



der F er sjangse for feilfri komponent, og A er sjangse for at komponent er fra A. a er svaret i a)

a)

Frisk opp setningen om total sannsynlighet (her kan man også endre spørsmålet til: hvor mange prosent av komponentene er feilfri).

b)

Frisk opp kunnskapen om Bayes' setning.

A = Fra fabrikk A.
B = Fra fabrikk B.
F = Feil på komponenten.

[tex]P(A) = 0.70 \\ \, \\ P(B) = 0.30 \\ \, \\ P(F|A) = 0.06\\ \, \\ P(F|B) = 0.08[/tex]

a)

[tex]P(\overline {F_{total}}) = P(\overline F\cap A) + P(\overline F\cap B) \Rightarrow P(A) \cdot P(\overline F|A) + P(B) \cdot P(\overline F|B) = \\ \, \\ \left(0.70 \cdot (1-0.06)\right) + \left(0.30 \cdot (1-0.08)\right) = \left(0.7 \cdot 0.94\right) + \left(0.3 \cdot 0.92\right) = \underline{\underline{0.934}}[/tex]



b) Her bruker vi Bayes' setning, fordi det er den "omvendte sannsynligheten de er ute etter.


[tex]P(A|\overline F) = \frac{P(A) \cdot P(\overline F|A)}{P(\overline{F_{total}})} =\frac{0.658}{0.934} \approx \underline{\underline{0.704}}[/tex]

Tusen takk for raske svar!