Partiell derivasjon (min.punkt under bibetingelse)

[superpus]

Lurer på om noen kan svare på denne oppgaven. Den ble gitt på eksamen idag.

Vi har funksjonen [tex]f_{\small(x,y)}=-3x^2+2y^2[/tex]

Finn minimumspunktet til [tex]f_{\small(x,y)}[/tex] når bibetingelsen [tex]3x-y= 15[/tex] skal gjelde.

Jeg brukte Lagranges metode og fikk:

[tex]f^\prime_x=-6x-3\lambda\\f^\prime_y=4y+\lambda[/tex]

Ganget y med 3 og fikk :

[tex]f^{\prime\prime}\._{xx}=-6 \;\;A [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}\._{xy}=0 \;\;B[/tex]
[tex]f^{\prime\prime}\._{yy}=12\;\; C[/tex]

Så bruker jeg formelen for å finne min.punkt [tex]A\ast C-B^2\; >\;0\;\;\;\;A\;>\;0[/tex]

Men det stemmer jo ikke ? Så her må jeg ha gjort noe feil..

[Janhaa]

hvis funksjonen du har skrevet er riktig, dvs f(x, y)
så blir f[sub]y[/sub]' = 2
og
så blir f[sub]y[/sub]'' = 0

altså A < 0, B = 0 0g C = 0

dermed blir:

[tex]\Delta = A\cdot C - B^2 = 0[/tex]

og testen er ubrukelig...du må gjøre noe annet...hvis jeg har forstått
oppgava og deg riktig

[superpus]

Ja, jeg hadde glemt en liten potens over y. Fikset nå.

[zell]

Når du bruker Lagranges metode finner du maks/min innenfor et område eller en rand, i dette tilfellet en rand.

Du skal da ikke bruke annenderiverttesten for kritiske punkter for å klassifisere maks/min, men rett og slett smette de verdiene du fant inn i f(x,y). Da vil maks/min poppe ut.

[superpus]

Så jeg skal bruke dette inn i den opprinnelige ?

[tex]f^\prime_x=-6x-3\lambda\\f^\prime_y=4y+\lambda [/tex]

Eller skal jeg gange vekk [tex]\lambda[/tex] og så putte inn ? Ja, det siste virker logisk..

[zell]

Lagrange sier at gradienten til f, skal være parallell med gradienten til g.

[tex]\nabla f = [-6x,4y] \ , \ \nabla g =[3,-1][/tex]

Følgelig har vi:

[tex]I: \ -6x = 3\lambda \\ II: \ 4y = -\lambda \\ III: \ 3x-y=15[/tex]

ganger II med -3 og får:

[tex]-6x = -12y \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2}x[/tex]

Setter dette inn i III:

[tex]3x - \frac{1}{2}x = 15 \ \Rightarrow \ x = 6[/tex]

Som igjen gir oss: [tex]y = 3[/tex]

Følgelig har vi minimumspunktet: (6,3)

[superpus]

Søren klype, var jo nesten det samme som jeg fikk svar på igår. Var det ikke ?

Men en liten ting hvorfor ganger du opp med -3 ? Da får man jo ikke bort [tex]\lambda[/tex].. Men tviler ikke på at det er riktig selvom.

EDIT:

Nei, forresten glem det.. Så det nå.