Page 1 of 1
Vektorer
Posted: 04/06-2008 20:10
by Emilga
Jeg skal vise at [tex]|\vec u + \vec v| \leq |\vec u| + |\vec v|[/tex] ved regning.
Det er enkelt nok å vise det geometrisk, men jeg får ikke til denne.
La [tex]\vec u = [a,\,b][/tex] og [tex]\vec v = [c,\,d][/tex].
[tex]\sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2} \leq \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2}[/tex]
Etter litt regning kommer jeg frem til at:
[tex]2abcd \leq (ad)^2 + (bc)^2[/tex]
Men jeg vet ikke om jeg har kommet noe lenger enn jeg var da jeg startet ...
Posted: 04/06-2008 20:39
by Sonki
hint: se etter perfekte kvadrat
Posted: 04/06-2008 21:25
by Emilga
Jeg finner at likheten gjelder når [tex]\vec u = \vec v[/tex].
Da vil [tex]a = c[/tex] og [tex]b = d[/tex].
[tex]2abcd \leq (ad)^2 + (bc)^2[/tex]
[tex]2abab \leq (ab)^2 + (ba)^2[/tex]
[tex]2(ab)^2 \leq 2(ab)^2[/tex]
Men jeg klarer ikke å se at [tex]|\vec u + \vec v| < |\vec u| + |\vec v|[/tex], når vektorene er ulike.
Posted: 04/06-2008 21:40
by mrcreosote
Likheten gjelder ikke bare når u=v, det holder at vektorene peker i samme retning.
Som Sonki sier, lag et perfekt kvadrat. Den enkleste (muligens...) av alle ulikheter er [tex]x^2\ge0[/tex] som gjelder for alle reelle x.
Hvis du flytter over 2abcd, ser du kanskje at det ligner på noe du får etter å ha brukt andre kvadratsetning.
Posted: 04/06-2008 22:20
by Emilga
[tex]2abcd \leq (ad)^2 + (bc)^2[/tex]
[tex]0 \leq (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2[/tex]
[tex]0 \leq (ad - bc)^2[/tex] ... Som selvfølgelig alltid null eller positiv.
Jeg antar at dette også gjelder for vektorer i rommet?
Posted: 04/06-2008 22:43
by mrcreosote
Emomilol wrote:Jeg antar at dette også gjelder for vektorer i rommet?
Det burde gjelde hvis vi tenker på geometrien i det i alle fall. Prøv å regne da vel!
Posted: 04/06-2008 22:57
by BMB
Hva er det som skiller perfekte kvadrater fra vanlige kvadrater?
Posted: 04/06-2008 23:02
by Emilga
Er dette lovlig?
To vektorer som ikke er parallelle vil danne et plan. Summen av disse vektorene vil også ligge i planet. Nå har jeg redusert vektorene med en hel dimensjon, og da kan jeg bruke det jeg kom frem til i forrige post, hvis jeg lar planet vektorene danner være "xy-planet."
To parallelle vektorer vil danne en rett linje. Hvis vi lar denne linja være "x-aksen" vil vi få to endimensjonale vektorer [tex]\vec u = a[/tex] og [tex]\vec v = b[/tex], og [tex]|a + b| = |a| + |b|[/tex], så lenge vektorene peker i samme retning, som mrcreosote sa.