matematikk.net

Vennligst ikke overvurder min matematiske forståelse! Kjør det gjerne inn med tskje!

Integranden er:
[tex](x-\frac 12)^2[/tex]

Jeg leste i 3MX boken, men forstår ikke hvordan dette fungerer:

[tex]\int g(u) \cdot u\prime dx = \int g(u)du\,\,\, der\, du = u\prime dx[/tex]

De sier også at det kan være lurt å omforme [tex]u\prime dx = du[/tex] til [tex]dx =\frac{du}{u\prime}[/tex]

Hva er det egentlig de mener her?

Takk for oppmerksomheten :]

Jeg har lest litt på Wikipedia, og tittet på disse integrasjonsvideoene i flash, og selvom forståelsen er litt bedre, hadde jeg satt pris på forklaring av overnevnte spørsmål.

Jeg har dog løst oppgaven riktig (tror) jeg. Er veldig usikker på notasjonen i 3.

1.
Integranden:
[tex](x - \frac 12)^2 \Leftrightarrow x^2 - x + \frac 14[/tex]

2.
Integrerer det "oppløste" uttrykket.
[tex]\int(x^2 - x + \frac 14)dx = \frac 13 x^3 - \frac 12x^2 + \frac 14x +C[/tex]

3.
[tex]\int\left((x-\frac 12)^2\right)dx = \int u^2 \cdot \frac {du}{u\prime} = 1 \cdot \int u^3 \cdot du = \frac 13 u^3 + C = \frac 13(x-\frac 12)^3 + C[/tex]

4.
Sjekker ved å derivere uttrykket:
[tex]\frac 13 (x-\frac 12)^3 \Rightarrow \frac 13 \cdot (u^3)\prime \cdot u\prime = u^2 \cdot 1 = (x-\frac 12)^2[/tex]

Er det substitusjon du forsøker?

Da må du først påvise [tex]\int f\left(g(x)\right)\cdot g^\prime(x)\rm{d}x[/tex]

Deretter substituerer du [tex]u=g(x), \, \rm{d}u=u^\prime \rm{d}x[/tex] og integrerer med hensyn på u. Så setter du inn for u of fullfører integralet. Her er noen eksempler jeggjorde i all hast:

Eksempel 1:

[tex]\int 2xe^{x^2}\rm{d}x \\ u=x^2, \, \rm{d}u=2x\rm{d}x \\ \int e^u \rm{d}u=e^u+C \\ Vi \, setter \, inn \, for \, u \\ \int 2xe^{x^2}\rm{d}x=e^{x^2}+C[/tex]

Eksempel 2:

[tex]\int 3sin(3x+2)\rm{d}x \\ u=3x+2, \, \rm{d}u=3\rm{d}x \\ \int sin(u)\rm{d}u=-cos(u)+C \\ Vi \, setter \, inn \, for \, u \\ \int 3sin(3x+2)\rm{d}x=-cos(3x+2)+C[/tex]

Vel og bra det, espen, men problemet er at jeg ikke ser logikken. - Jeg er ikke medlem i Mensa, med andre ord.

Ta for eksempel dette uttrykket:

[tex]f(x) = (3x^2 - 5)^8[/tex]

Kan du integrere det, og samtidig forklare nøysomt hva du gjør, trinn for trinn? Hehehe

MatteNoob wrote:Vel og bra det, espen, men problemet er at jeg ikke ser logikken. - Jeg er ikke medlem i Mensa, med andre ord.

Ta for eksempel dette uttrykket:

[tex]f(x) = (3x^2 - 5)^8[/tex]

Kan du integrere det, og samtidig forklare nøysomt hva du gjør, trinn for trinn? Hehehe

Der finner du ikke igjen den deriverte på utsiden, så det du må gjøre er å utvide hele parantesen, uansett hvor lang tid det vil ta, jeg ville ha brukt et dataprogram!

Hvis det hadde stått 6x utenfor parantesen hadde det ikke vært noe problem. Eventuelt ax, der a er et eller annet tall ikke likt null.

Hvis du vil integrerere det foreslår jeg at du utvider med binomialformelen.

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=19095

Der har jeg forklart litt om substitusjon. Har du lest den? Prøv å sett deg inn i oppgaven og evt å løse den. Hvis du ikke skjønner av den heller, kan jeg prøve å skrive enda mer detaljert forklaring.

sEirik & Dinithion:
Takk for innspill, og der kan dere se - jeg plukket det uttrykket ut av hatten, uten tanke på noe annet enn at det skulle være noe en kunne derivere med kjerne. Som Dinithion nevnte i integrasjon av sinus-tråden, som han så gavmildt henviste til;

Dinithion wrote:Tenk på det slik at for å kunne bruke substitusjon, så må den deriverte av kjernen stryke alle x-er i integralet. For når du substituerer så skal man jo foreta ett variabelskiftet, man integrerer etterpå med hensyn på u, istedenfor x. Altså kan det ikke være noen x'er igjen.

(Det er derimot ikke ett problem her, men om du står igjen med en eller flere x'er etter at du har substituert og fortkortet, så har du A. gjort feil, eller B. du kan ikke bruke substitusjon)

Her var det snakk om:
[tex]\int\left(2x \cdot sin(x^2)\right)dx[/tex]

Jeg har ikke mye kjennskap til integrasjon/derivasjon av trigonometriske funksjoner, men ut fra hva dere sier, så ser jeg jo at [tex](x^2)\prime = 2x[/tex], og dermed kan jeg stryke leddet 2x. Blir dette slik:

[tex]\int\left(2x \cdot sin(u)\right)dx = \int 2x sin(u) \cdot u\prime dx = \cancel {2x} -cos(u) \frac{du}{\cancel {u\prime}} + C = \underline{\underline{ -cos(x^2) + C}}[/tex]

Jfr den henviste tråden, er dette korrekt, men jeg er fortsatt usikker på notasjonen. Du må gjerne utdype dette ytterligere, dersom du har tid til det, Dinithion.

Når det gjelder integranden jeg postet først, skriver jeg den om til den deriverte, for så integrere på den.

[tex]\left((3x^2 - 5)^8\right)\prime = 48x(3x^2-5)^7[/tex]

[tex]\int\left(48x(3x^2-5)^7\right)dx = \int\left(48x \cdot (u)^7\cdot u\prime dx\right)du = 48x \cdot \frac 18 u^8 \cdot \frac{du}{6x} = \cancel {6x} u^8 \cdot \frac{du}{\cancel {6x}} = \underline{\underline{(3x^2-5)^8 + C}}[/tex]

Jeg ser hva jeg gjør, men forstår ikke helt hvorfor, hehehehe.

ok, si at man har ett utrykk som vi skal derivere. For enkelhetsskyld kan vi ta

[tex]f(x) = e^{x^2},\ Vi\, setter\, u=x^2\, u^{\tiny\prime}=2x\\ f(x)^{\tiny\prime} = e^u \cdot u^{\tiny\prime} = 2x \cdot e^{x^2}[/tex]

Der har vi brukt en kjerne til å derivere med. Når vi nå skal integrere denne igjen, så kan det fort bli vrient. Nå har du jo ikke hatt noe om delvisintegrasjon som er integrasjon mellom to produkt. Men delvisintegrasjon mellom 2xe^x² blir helt meningsløst (For meg. Jeg ser ikke hvordan det skal integreres med delvisintegrasjon, guruene vet sikkert ).

Vi har altså integralet:

[tex]\int 2x \cdot e^{x^2}\, dx[/tex]

Altså må vi gjøre det på en annen måte. Vi ser om integralet har en naturlig kjerne. Den naturlige kjernen er jo selvfølgelig x². Dermed vet vi når vi deriverte utrykket så brukte vi kjerneregelen.

[tex]\int 2x \cdot e^{u}\, dx[/tex]

Her har vi satt u = x^2, og e^u så vi har forenklet utrykket en god del, problemet er at nå har vi to variabler. x og u.

Vi deriverer den kjernen vi valgte, slik at vi får

[tex]u = x^2 \\ u^{\tiny\prime} = 2x[/tex]

En annen måte å skrive dette på, er

[tex]du = 2x\, dx\, eller\, \Delta u = 2x\, \Delta x[/tex]

vi ser at vi har både dx i integralet og i den deriverte av kjernen. Dermed kan vi snu på formelen for kjernen og substituere dx.

[tex]du = 2x\, dx \\ dx = \frac{du}{2x} = \frac{1}{2x}\, du[/tex]

Nå kan vi substituere:

[tex]\int 2x \cdot e^u\, \frac{1}{2x}\, du[/tex]

Da ser vi lett at 2x kan strykes mot 1/(2x) og vi står igjen med det mye enklere integralet:

[tex]\int e^u\, du = e^u +C[/tex]

Da har vi integrert utrykket. Da kan vi putte inn kjernen igjen, og står igjen med:

[tex]e^{x^2} +C[/tex]

Jeg vet ikke om det ble så mye klarere, men jeg håper det. Den beste måten å lære det skikkelig på er jo (Selvfølgelig) å gjøre oppgaver

Det skal også legges til at det ikke alltid er mulig å putte inn igjen for u etter man har integrert. Da må vi bytte grenser i det bestemte integralet. Ikke tenk så mye på det foreløpig. Vi bare smaker så vidt på det i 3mx, og tror ikke det læres skikkelig før kalkuls.

Dette var jo et forholdsvis enkelt eksempel. Du kan jo alltids prøve å ta noen som er litt mer sammensatt.

Dinithion wrote:Jeg vet ikke om det ble så mye klarere, men jeg håper det. Den beste måten å lære det skikkelig på er jo (Selvfølgelig) å gjøre oppgaver

Det skal også legges til at det ikke alltid er mulig å putte inn igjen for u etter man har integrert. Da må vi bytte grenser i det bestemte integralet. Ikke tenk så mye på det foreløpig. Vi bare smaker så vidt på det i 3mx, og tror ikke det læres skikkelig før kalkuls.

Dette var jo et forholdsvis enkelt eksempel. Du kan jo alltids prøve å ta noen som er litt mer sammensatt.

Du skulle vært forfatter av pedagogiske hjelpemilder for matematikkstudenter, Dinithion. Dette gjorde det faktisk mye klarere, hjertlig takk :]

Du nevner grenseendringer, men det er vel strengt tatt bare å finne det ubestemte integralet, for så å nytte det med de opprinnelige grensene når integranden er ferdig integrert?

Hvis jeg har integranden:

[tex]2xe^{x^2}[/tex]

La oss velge grensene [1, 5]

[tex]\int_1^{5} \left(2xe^{x^2}\right)dx[/tex]

Deretter setter jeg kjernen lik[tex] u = g(x) = x^2[/tex]
Da er [tex]g\prime(x) = 2x[/tex]

[tex]\int_{g(1)}^{g(5)}2x \cdot e^{u} \cdot \frac{du}{u\prime} = \int_{1}^{25} \cancel {2x} \cdot e^u \cdot \frac {du}{\cancel {u\prime}} = e^u |_1^{25}[/tex]

Blir ikke det korrekt? :]

Jo, det stemme overrens med hva jeg lærte. Men det virket for meg som det ikke alltid var noen fasit hvordan man fant grensene. Jeg skjønte det slik at man av og til måtte tenke logisk hva grensene skulle være, istedenfor å bare plotte det inn i en formel. (Her kan kanskje noen med bedre dybde forhåpentligvis svare )

Jeg tror ikke pensumet til 3mx går så mye innom grensebyttet. Jeg fikk inntrykk av at man skulle ha kjennskap til det, men at de virkelige oppgavene med grensebytte kom på høgskole/universitet når man har om kalkulus.

Ja, 3mx er såvidt innom grensebytting