matematikk.net

Oppgave 9.54

Vi kaster en rød og en blå terning og definerer disse hendingene:

A: Summen av øynene er sju
B: Den blå terningen viser flere øyne enn den røde.

a) Finn P( A) og P (B|A).

c) Finn P( B)


Jeg legger til at eks. sannsynligheten P(B|A) er sannsynligheten for at hending B skal inntreffe når vi vet at hending A har inntruffet.

Oppgave a tror jeg er slik at siden vi vet at det er 6 forskjellige tall i en terning er sannsynligheten for å få et av de 6 forskjellige tallene lik [tex]\frac{1}{6}[/tex]. Dette basert på med forutsetningen om at summen av øynene er sju, eller summen av øynene er et tall under 12, kan jeg ha rett?. Om noen svarer på disse oppgavene er jeg takknemlig.

Forventningsverdien når du kaster to terninger, er syv. Det er altså høyere sannsynlighet for at du får 7 øyne tilsammen på terningene enn noe annet.

I spillet craps (casinospill) utnytter de dette, ved at man taper dersom man får 7. :]

Hvordan beregner man sannsynlighet for disse terningenekastene P(A), jeg vet at to terninger tilsvarer tallet 12 verdier. En terning derimot har 6 verdier.Skjønner da at sannsynligheten å få sju på begge terningene er høyere enn med en terning.


Siden det er to terninger det er snakk om og begge terningene tilsammen har 12 verdier, deler jeg de to terningene med de tolv verdiene der to av verdiene er like siden begge terningene har like mange verdier.Med verdier her mener jeg øyner pr side.

Altså 2 delt på 12, og forkortet som er 1 delt på 6, kan denne fremgangsmåten stemme?

Hvor mange måter kan du få 7 på? 6
Hvor mange forskjellige utfall har du på 2 terninger? 36

X = "Antall øyne på terningene"

[tex]P(X=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}[/tex]

Nå har jeg jobbet litt hardt og kommet fram til ;

[tex]P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}[/tex]

[tex]P(B|A)=\frac{1}{2}[/tex] Her gjør jeg dette,men vet ikke helt hvorfor. Vet bare at siden A har hendt og det er 2 terninger deler jeg 1 som er A med 2 som er B,riktig?

[tex]P(AogB)=P(A) \cdot P(B|A)=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}[/tex]

[tex]P(B)=\frac{5}{12}[/tex] Her har jeg tatt 12 minus 7 som er 5 siden den ene terningen viser flere øyne enn den andre og ganger med alle verdiene som er 12 verdier totalt.

[tex]P(A|B)=\frac{(AogB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}[/tex]

Hvordan regner man egentlig ut [tex]P(B|A)[/tex]?

Wentworth wrote:A: Summen av øynene er sju
B: Den blå terningen viser flere øyne enn den røde.

a) Finn P( A) og P (B|A).

c) Finn P( B)

Hvor ble det av alternativ b, ovenfor har du bare skrevet a og c.

[tex]P(B|A)[/tex] er den relative frekvensen for at B inntreffer, når A allerede har intruffet. Dette er den samme notasjonen som ved bruk av Bayes' setning, men når ikke annet er spesifisert, antar jeg at de vil vite den betingede sannsynligheten.

Jeg synes derfor det er snodig at de har etterspurt [tex]P(B|A)[/tex] før de vil vite [tex]P(B)[/tex]

Hvis vi ser hvilke utfall av av de to terningene som leder til A, så forstår vi hvorfor [tex]P(B|A) = \frac 12[/tex]

Hvilke utfall leder til 7 øyne inntreffer? Svar:
[tex]1+6 = 7 \\ 6+1 = 7 \\ 2+5 = 7 \\ 5+2 = 7 \\ 3+ 4 = 7 \\ 4+3 = 7[/tex]

I halvparten av tilfellene har den andre (les: blå) terningen flere øyne enn den første, og motsatt

[tex]P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B|A)[/tex] Slik du sier, fordi de nå er ute etter at disse to hendelsene inntreffer som en helhet. Først må A inntreffe, deretter må B intreffe etter at A har skjedd.

Jeg synes det er enklere å definere P(B) slik:

1. Enten er terningene like.
2. De er ulike og den ene viser mer enn den andre. Den blå terningen viser mer i 50% av tilfellene hvor hendelsen skjer.

[tex]P(like) = 6(\frac 16 \cdot \frac 16) = \frac {6}{36} = \frac 16[/tex]

Da er de ikke like når:

[tex]P(\overline{like}) = 1- P(like) \Rightarrow \frac 56[/tex]

Dermed er
[tex]P(B) = \frac{\frac 56}{2} = \frac{5}{12}[/tex]

Hvis du nå skal regne ut [tex]P(B|A)[/tex], gjør du det slik:

[tex]P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A)} = \frac{ \frac {1}{12}} { \frac {1}{6}} = \frac{1}{12} \cdot \frac 61 = \frac 12 [/tex]

Vet ikke om dette hjalp deg noe spesielt, jeg ville bare vise deg hvordan jeg tenkte når jeg skal gjøre slike oppgaver som dette.

Dette hjalp meget hittil . Men jeg har fortsatt en oppgave til som jeg ikke har fått med meg helt,setter pris på om noen vil se litt ann på den.

Hvilken oppgave mener du? :]

Hvis du mente denne, så hadde du rett.

[tex]P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Leftrightarrow \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}} = \underline{\underline{\frac{1}{5}}}[/tex]

MatteNoob wrote:Hvis du mente denne, så hadde du rett.

[tex]P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \Leftrightarrow \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}} = \underline{\underline{\frac{1}{5}}}[/tex]

Jeg mente den andre egentlig, men det er et fett, man bruker bare produktsetningen .

Hvis du mente P(B|A), så løste jeg den helt på slutten i "den lange" tråden :]

MatteNoob wrote:Hvilken oppgave mener du? :]

Oppgave 9.55
I et lotteri er det tretti lodd igjen. Tre av loddene gir gevinst. DU kjøper fire lodd, og vennen din kjøper deretter fem lodd.Finn sannsynligheten for at du og vennen din vinner en gevinst hver.

Jeg vil tro at sannsynligheten for å få tre gevinster er :
[tex]\frac{3}{30}[/tex]

Siden Jeg og Vennen kjøper 4 og 5 lodd tror jeg man skal bruke:

[tex]P(B|A)[/tex] For når jeg har kjøpt 4 lodd har det hendt hending A.[/tex] Eller nor slik?

MatteNoob wrote:Hvis du mente P(B|A), så løste jeg den helt på slutten i "den lange" tråden :]

Jeg så den , takk skal du ha.

er ikke sikker, men hvad med:

((3 nCr 1 * 27 nCr 3) / 30 nCr 4) * ((2 nCr 1 * 24 nCr 4)/ 26nCr 5)=

0,3202 * 03231 = 0,1034 ... så 10,34%




[/tex]

"mepe"]er ikke sikker, men hvad med:

[tex]\frac{{{3}\choose {1}} \cdot {{27}\choose {3}}} {{{30}\choose{4}}}\cdot \frac{{{2}\choose {1}} \cdot {{24}\choose{4}}} {{{26}\choose {5}}}= \frac{3}{29}[/tex]

Ja, stemmer nok det. Jeg skal prøve å lage to hendinger en for meg og den andre for vennen min og kaller dem A og B.


A: Jeg går ut ifra at jeg skal plukke 4 lodd i alt av de 30 loddene og av disse 30 loddene er det 3 som gir gevinster noe som betyr at vi har 27 lodd som ikke gir gevnister og av de 3 loddene som gir gevinst går vi ut ifra at 1 av de 3 loddene med gevinst vinner jeg. Da har jeg 3 lodd igjen som av de 27 loddene som ikke gir gevinst. Samlet er det altså 30 lodd som jeg plukker 4 av og går ut ifra at jeg får 1 gevinst og tre som ikke gir gevinst.

Dermed er [tex]P(A)=\frac{8775}{27405}[/tex].

Og når hending A har skjedd har vennen min 26 lodd igjen å velge mellom og bare 2 av disse som gir gevinster, siden jeg har vunnet en gevinst. Også er det 24 av disse 26 loddene som ikke gir gevinst siden det er bare 2 som gir gevinster nå.

Dermed er [tex]P(B|A)=\frac{21252}{65780}[/tex]

Produktregelen gir(altså sannsynligheten for hending A og sannsynligheten for hending B med forutsatt at hending B skulle intreffe når A allerede hadde inntruffet);

[tex]P (A\cap B)=P(A) \cdot P(B|A)=\frac{8775}{27405} \cdot \frac{21252}{65780}=\frac{3}{29} [/tex]

Er denne fremgangsmåten riktig?

Vet noen hvordan denne oppgavene egentlig skal løses? Her har jeg selfølgelig brukt binomialkoeffisienter som mepe hadde kommet fra til som det viste seg å ha riktig svar, men er den totale fremgangsmåten riktig for det? Eller fins det en annen enkel måte?Takker for alle svarene hittil fra mattenoben spes og mebe,og fortsetter å sette pris på svar.