matematikk.net

Vis at [tex]|\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2[/tex].

Dette har jeg klart å vise ved å sette [tex]\vec u = [x_1,\,y_1,\,z_1][/tex] og [tex]\vec v=[x_2,\,y_2,\,z_2][/tex] og regne alt ut for hånd. Er det slik jeg skal gjøre det eller finnes det en kortere måte?

Det finnes ikke noen bestemt måte du "skal" gjøre det på. Ethvert gyldig matematisk bevis fungerer, men kanskje dette er enklere?:

[tex]|\vec u \times \vec v |^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 \sin^2 (\theta)[/tex]
Derifra kan du benytte en velkjent trigonometrisk identitet, og du er nesten i mål.

Emomilol wrote:Vis at [tex]|\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2\,\,\,[/tex](*)
Dette har jeg klart å vise ved å sette [tex]\vec u = [x_1,\,y_1,\,z_1][/tex] og [tex]\vec v=[x_2,\,y_2,\,z_2][/tex] og regne alt ut for hånd. Er det slik jeg skal gjøre det eller finnes det en kortere måte?

Denne (*) kalles forøvrig Lagranges identitet.
Det daofeishi foreslår funker bra. Du vil får en VS og HS, som du kan sammenlikne.

Takk! Nå klaffet alt.

Vis at [tex]|\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2[/tex].

Vi har av definisjonen på vektorprodukt at:
(I) [tex]|\vec u \times \vec v| = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot sin\theta \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, |\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot sin^2\theta[/tex]

Vi har også, av definisjonen på skalarprodukt, at:
(II) [tex]\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot cos\theta \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, (\vec u \cdot \vec v)^2 = |\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot cos^2\theta[/tex]

Av enhetssirkelen og definisjonen på sinus og cosinus har vi at:
[tex]sin^2\theta + \cos^2\theta = 1[/tex]


Vi adderer (I) og (II):

[tex]|\vec u \times \vec v|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 =|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot sin^2\theta + |\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot cos^2\theta[/tex]

[tex]|\vec u \times \vec v|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 =|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2\cdot (sin^2\theta + cos^2\theta)[/tex]

[tex]|\vec u \times \vec v|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 =|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot 1[/tex]

[tex]|\vec u \times \vec v|^2=|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2 [/tex]

Dette ble jo en mye kulere løsning, enn min primitive metode.

Har denne likheten noen bruksområder?

Tja, Venstre sida di gir jo kvadratet av absoluttverdien til vektorproduktet.
La oss si du har 3 punker (A, B og C) i rommet, så kan man via Lagrangs identitet finne arealet av trekanten ABC, hvis
[tex]|\vec {AB} \times \vec {AC}|^2[/tex]
er oppgitt.

[tex]\tex Arealet (trekant)= {1\over 2}|\vec {AB}\times \vec {AC}|[/tex]