matematikk.net

Heisann, kom over en litt hard nøtt. Har sittet og regnet på det en stund nå, og har egentlig fått et svar, bare at [tex]5a_1 + 10d= 5(a_1+2d)[/tex] ikke er så lett å tolke.

Oppgaven lyder som følger:

I en aritmetisk rekke er summen av de første 5 leddene lik 5a, og produktet av disse er lik a^5. Finn rekken.

Håper noen kan hjelpe.

Hint:
[tex]u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=(u_3-2d)+(u_3-d)+u_3+(u_3+d)+(u_3+2d)[/tex]
for en konstant [tex]d[/tex] hvis [tex]{u_n}[/tex] er en aritmetisk følge.

Takk for hintet, fikk jeg sett den middelverditingen i aksjon. Desverre sitter jeg fast på nesten det samme. Tidligere satt jeg fast på [tex]5a_1+10d=5a[/tex], og nå er jeg kommet til [tex]5a_3=5a[/tex] så derfor at [tex]a_3 = a[/tex](er jo gitt av å skrive alle ledd som middelverdien, som du viste.)

Har regnet som galen og klart å få rett svar fra summen, men har liten anelse på hvordan å sette den andre på prøve.

Jeg har kommet fram til, og det stemmer med summen, at [tex]a_n=-a+(n-1)a [/tex] men da stemmer det ikke med at en av faktorene i a^5 er lik 0.

Jeg har egentlig unngått å blande a^5 inn i regningen min, siden polynomdivisjon med både a^n og d^n er jeg ikke helt klar for. Kan denne løses uten?

Tror du skal klare deg fint uten polynomdivisjon og noen nye variabler. Du har fått oppgitt at profuktet av de fem første leddene skal bli a^5. Setter du opp et utrykk for dette produktet og setter det lik a^5 har du en likning du kan løse for å finne differansen d. Siden du vet at det tredje leddet blir lik a er dette egentlig alt du trenger for å finne rekken. Hvis du vil ha et lite tips kan det lønne seg å bruke konjugatsetningen når du skal regne ut produktet. Blir litt rotete med parentesene, men ikke noe en oppegående ung mann som deg ikke klarer.

Som du kanskje skjønner, vil den aritmetiske rekken være uttrykt ved variabelen a, altså den er ikke entydig.

Jarle10 wrote:Hint:
[tex]u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=(u_3-2d)+(u_3-d)+u_3+(u_3+d)+(u_3+2d)[/tex]
for en konstant [tex]d[/tex] hvis [tex]{u_n}[/tex] er en aritmetisk følge.

Ved hjelp av dette hintet kan du regne ut produktet av de fem første leddene:

[tex](a_3 - 2d)(a_3 - d)a_3(a_3+d)(a_3 + 2d) = (a_3 - 2d)(a_3 + 2d)(a_3 -d)(a_3+d)a_3[/tex]

Ser du? (tredje kvadratsetning...eller konjugatsetningen som Karl_Erik hintet om)

Har regnet ut produktet av rekkens sum, og er langt ifra tydelig at det er 5a_3 som er a^5. Når jeg regnet ved hjelp av kvadratsetningene i går, fikk jeg ikke noe særlig klart svar.

[tex](a_3-2d)(a_3-d)a_3(a_3+d)(a_3+2d)=a^5[/tex]
[tex]\downarrow[/tex] setter a_3 = a
[tex](a^3-3da^2+2d^2a)(a^2+3da+2d^2)=a^5[/tex]
[tex](a^5+\cancel{3da^4}+2d^2a^3-\cancel{3da^4}-9d^2a^3-\cancel{6d^3a^2}+2d^2a^3+\cancel{6d^3a^2}+4d^4a)=a^5[/tex]
[tex]a^5-5d^2a^3+4d^4a=a^5[/tex]

Og dette er ikke særlig enkelt å tolke eller hur?
Kan hende jeg har regnet feil, men kom fram til et lignende uttrykk igår, og er ikke så enkelt å tolke det svaret.

Edit: måtte regne litt til på det, men skal være rett nå

stemmer vel da...

[tex]a=\frac{2d}{\sqrt{5}}[/tex]

Takker for alle svar, har hvertfall lært mye om aritmetiske rekker tross jeg ikke helt klarer å skjønne (og feire) min triumf over denne oppgaven Likevel lærerikt å regne på vei mot svaret.

husk [tex]\pm[/tex] når du løser fjerdegradslikninga! Her går du glipp av løsninger.