matematikk.net

Hei,

Jeg har litt problemer med en fysikkoppgave: Jeg vet akselerasjonen som funksjon av en position på en rett linje, og min oppgave er å beregne hvor lang tid et objekt bruker på å bevege seg fra en posisjon til en annen langs den linjen, når utgangshastigheten er null.

I utgangspunktet tenkte jeg å finne en relasjon mellom dt og dx, og så integrere mellom x = a og x = b for å finne t, men jeg sitter fast med
[tex]a=\frac{dv}{dt} \Rightarrow dt =\frac{dv}{a}[/tex]
Jeg er litt usikker på matematikken her, ang. hva som er lov og ikke når man sjonglerer med differensialer, og jeg klarer ikke å komme frem til det jeg er ute etter. Jeg vet forsåvidt ikke heller om denne framgangsmåten vil gi meg det jeg trenger. Kan noen hjelpe?

Jeg kan prøve å hjelpe, men trenger å vite litt mer. Er akselerasjonen konstant? Bare eksterne krefter som virker på objektet? Og hva eksterne krefter? Er b et vilkårlig punkt?

Hadde vært gøy å kunne hjelpe og, har drevet og studert mye fysikk, men har lite oppgaver;)

Forresten, relasjonen mellom a og s er at [tex]a=\frac{d^2x}{dt^2}[/tex](regner med x er posisjonen)
Vet ikke om det hjelper.

Hadde aks'en vært konstant hadde det jo vært en smal sak

Hele oppgaven er slik: Hvis man tenker seg et hull rett gjennom jorden (via sentrum), hvor lang tid bruker et objekt på å nå andre siden av jorden hvis man slipper det ned i hullet? Jeg tenkte da å finne tiden til sentrum og så gange med to. Vi antar null luftmotstand og alt det der.

Antar man da at hullets tilstedeværelse har ingen effekt på jordens gravitasjonsfelt forøvrig (lite hull), vil [tex]a \propto r[/tex], hvor a er akselerasjonen mot sentrum og r er avstanden fra sentrum av jorden. Disse to punktene jeg snakket om er jo da a = R, jordens radius og b = 0, sentrum.

Her har jeg nå byttet fra x til r. Grunnen til at jeg i utgangspunktet i presenterte oppgaven indirekte var fordi jeg hadde lyst på en så matematisk mulig fremgangsmåte, spesielt ang. disse differensialene. Vi fysikere er jo ellers ganske slepphendte med matematikken

Når du foreslo at jeg skulle bruke

[tex]a =\frac{d^2 x}{dt^2} \Rightarrow kx=\frac{d^2 x}{dt^2}[/tex]

begynte jeg å tukle med den generellle løsningen [tex]Ae^{\sqrt{k}x}+Be^{-\sqrt{k}x}[/tex] men jeg kom ingen vei fordi jeg kunne ikke stryke noen av leddene, fordi objektet ville jo ikke bruke uendelig lang tid på å nå sentrum, og akselerasjonen øker ikke, og i hvertfall ikke en kombinasjon av de to!

Så plutselig gikk det opp for meg! Alt dette matematiske fremgangsmåtebabbelet bare hindret meg i å se at dette er jo en harmonisk oscillator!

[tex]-kx=\frac{d^2 x}{dt^2}[/tex]

Legg merke til fortegnet. Og da kom jeg fram til at objektet ville bruke [tex]t = \frac{\pi}{\sqrt{k}}[/tex] på å nå den andre siden, som, innsatt k, gir

[tex]t = \sqrt{\frac{3\pi}{4G\rho}},[/tex]

hvor G er gravitasjonskonstanten og [tex]\rho[/tex] er den midlere massetettheten til jorden. Setter man inn for [tex]\rho[/tex] mener jeg man får

[tex]t = \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}[/tex]

hvor R er radius til jorden og M er massen. Dette blir sånn røffli 42 minutter. Jeg hadde satt pris på verifikasjon!

Nå er det del to!

Vis at tiden objektet bruker er den samme uavhening om hullet passerer sentrum av jorden eller ikke; dvs. om hullet ligger langs diameteren til jorden eller langs en vilkårlig korde.

Er det rett å bruke begrepet korde angående kuler likefullt som for sirkler?

Skal regne på det senere, men må være rett det Med en gang jeg leste harmonisk svingning visste jeg det må være rett, den kommer tross alt til å akselere tilbake fra der den stopper til der den kom fra, og equilibrium kommer til å være jordas sentrum (men kommer aldri til å stoppe der). Så kan gjerne sees på som en funksjon som inneholder Hookes lov med en [tex]-kx\prop \vec{F}[/tex] Smart tenkt


Ang. del to: Stemmer det, blir en vilkårlig korde de tenker seg her. Blir ikke denne litt tøff da? Siden den kommer til å ville akselere inn mot jordas sentrum og derfor komme til ro ved kordens midtpunkt?(Bare det jeg tenker).

Forresten er en kule en sirkel i 3 dimensjoner, men dette er et en-dimensjonalt problem, så kan se bort i fra at jorden er en kule i utregningen av problemet

Først: Dette kan jeg ikke, men mener å ha hørt at det vil ta 42 minutter, uansett hvordan "hullet" i jorden er "boret". Tvers gjennom polene = 42 minutter fra den ene til den andre siden, fra Oslo til Cape Town = 42 minutter osv. Bare en artig digresjon.

Edit:
Fant en kilde (med youtube vid)
42 minutter, klar ferdig gå!