matematikk.net

Kan noen forklare meg hvordan man skriver om noe slikt:
[tex]Im \{e^{\frac 12 \theta i(n-1)}}=?[/tex]

husker du hva [tex]e^{ix}[/tex] "blir"?

og vet du hva Im innebærer?

Nei, det er det som er problemet, første gang jeg støter på den type notasjon som Re og Im foran mye ræl..
Vet at [tex]e^{ix}=cosx+isinx[/tex]

Altså hvis vi har et tall [tex]z=a+bi[/tex] (der a og b er reelle tall) så er

[tex]\text{Re}(z) = a \text{ og } \text{Im}(z)=b[/tex]

Ser du nå hva [tex]\text{Im}(e^{ix})[/tex] blir?

Så svaret på mitt opprinnelige spørgesmål er rett og slett [tex]sin (\frac 12 \theta (n-1))[/tex]?

Ja, =}

Javel, det no shit i grunn ..
Har også Eulers formel som sier [tex]sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex]

Jeg har et Uttrykk som er [tex]Im\{e^{ix}-e^{-ix}}[/tex]
Kan jeg nå skrive om dette til [tex]Im\{\frac{sinx}{2i}}=\frac 12 sinx[/tex]?
Gjetter nesten bare litt her nå, men i strykes mot i, blir jo i/i =1

Mulig det er et par skrivefeil i posten din over. [tex]e^{ix}-e^{-ix} = 2i\sin(x)[/tex] Derfor er [tex]\Im \left( e^{ix}-e^{-ix} \right) = 2\sin(x)[/tex], og [tex]\Re \left( e^{ix}-e^{-ix} \right) =0[/tex]

Aha, men da skal vi se her, det er nemlig den stygge sinussummen din jeg sitter med..

daofeishi wrote:Sinus-sum: Vis at[tex] \sin(\theta) + \sin(2 \theta) + \sin(3 \theta) + ... + \sin(n\theta) = \frac{\sin \left( \frac{(n+1)\theta}{2} \right) \sin \left( \frac{n\theta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\theta}{2} \right)}[/tex]

bruker x for theta så det går litt kjappere

Da kan jeg skrive om [tex]sinx = \text{Im}\{e^{ix}}[/tex] slik at summen kan skrives som [tex]\text{Im}\{{e^{ix}+{e^{i2x}+{e^{i3x}+...+{e^{inx}\}[/tex]
Dette skulle nå være en geometrisk rekke med k=e^{ix}.

Summen for en slik rekke blir da
[tex]\frac{e^{inx}-1}{{e^{ix}-1}[/tex]

Skriver 1 til [tex]e^{-\frac{inx}{2}}e^{\frac{inx}{2}}[/tex] og [tex]e^{inx}=e^{\frac{inx}{2}}e^{\frac{inx}{2}}[/tex] og tilsvarende i nevner slik at summen blir

[tex]\text{Im}\{\frac{e^{\frac{inx}{2}}e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}}e^{\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}e^{\frac{ix}{2}}}=\frac{e^{\frac{inx}{2}}(e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}})}{e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}})}\}[/tex]

Hvis jeg da har forstått riktig kan jeg nå trekke litt ut av min imaginære klamme på denne måten:

[tex]\text{Im}\{\frac{e^{\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}} \}\frac{2\sin(\frac 12 nx)}{2\sin(\frac 12 x)}=\text{Im}\{e^{\frac{inx-ix}{2}} \}\frac{\sin(\frac 12 nx)}{\sin(\frac 12 x)}=\frac{\sin(\frac {nx-x}{2} ) \sin(\frac 12 nx)}{\sin(\frac 12 x)}=\frac{\sin(\frac 12 x(n-1) \sin(\frac 12 nx)}{\sin(\frac 12 x)}[/tex]

Som vi ser er det en minus, der det skulle vært +
Tenker jeg riktig nå og hvor er feilen blir mitt spørsmål nå

Her er en annen måte:

Vi skriver om den lukkede formen:

[tex]\frac{ \sin( \frac{1}{2}(n+1) \theta) \sin(\frac{n \theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})} = \frac{ \cos(\frac{1}{2}(n+1) \theta - \frac{n \theta}{2}) - \cos(\frac{1}{2}(n+1) \theta + \frac{n \theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})} = \frac{ \cos(\frac{\theta}{2}) - \cos(n\theta + \frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})}[/tex]

Ved kvikk induksjon kan vi vise at sinusrekken blir lik vår lukkede form ved å anta at det er sant for n=k, og vise at det da er sant for n=k+1.

[tex]\sin\theta+\sin2\theta+...+\sin k\theta + \sin (k+1)\theta= \frac{ \cos(\frac{\theta}{2}) - \cos(k\theta + \frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})}+\sin (k+1)\theta \\ =\frac{ \cos(\frac{\theta}{2}) - \cos(k\theta + \frac{\theta}{2})+2\sin( (k+1)\theta)\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})} = \frac{ \cos(\frac{\theta}{2}) - \cos(k\theta + \frac{\theta}{2})+\cos( (k+1)\theta- \frac{\theta}{2}) - \cos((k+1)\theta+ \frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})} = \frac{ \cos(\frac{\theta}{2}) - \cos((k+1)\theta + \frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})} [/tex]

Og siden det klart er sant for n=1:
[tex]\sin\theta=\frac{ \sin( \frac{1}{2}(1+1) \theta) \sin(\frac{1\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})}=\sin\theta[/tex] har vi vist likheten.

Pent!