2 integraloppgaver

[l i c]

Hei!

Jeg trenger hjelp til to integraloppgaver, de er egentlig ganske enkle tror jeg. men nå står jeg helt fast, og håper noen kan hjelpe meg!!

OPPG 1

I eksempel tre fant vi at [symbol:integral]ln x dx = x ln x - x + C
Bruk dette til å finne [symbol:integral] (ln x)^2 dx

OPPG 2

Regn ut arealet avgrenset av grafen til f(x) = [symbol:rot] x * ln x, x-aksen og linjene x = 1 og x= e

Takknemlig for all hjelp:)

[MatteNoob]

Oppgave 1.
Hint:
[tex]\int \ln(x) \rm{d}x = \int 1 \cdot \ln(x)\rm{d}x[/tex]

Klarer du dem nå?

Oppgave 2.
Siden [tex]1\, < \, e[/tex]

[tex]\int_1^e \sqrt x \cdot \ln(x)\rm{d}x[/tex]

Hint: Delvis integrasjon.

Klarer du dem nå?

[Aksiom]

Begynner å komme et stykke ut i ferien nå

[MatteNoob]

Det stemmer, i så tilfelle...

[tex]\int \ln^2 x \rm{dx} = \int 1\cdot \ln^2x \rm{dx}[/tex]

Dermed kan vi sette:

[tex]\int \ln^2x \rm{dx} = x\ln^2x - \int x \cdot \frac{2\ln(x)}{x} \rm{dx}[/tex]

Som gir:

[tex]\int \ln^2x \rm{dx} = x\ln^2x - \int 2\ln(x)\rm{dx}[/tex]

Og vi vet jo allerede hva integralet av lnx er. Derfor får vi:

[tex]x\ln^2x - 2\left(x\ln x - x\right) + \rm{C}[/tex]

Så:

[tex]x\ln^2x - 2x\left(lnx-1\right)+C[/tex]

EDIT:

Siden jeg ikke har hørt noe fra deg enda, så løser jeg like godt det andre integralet også, hehe...

Regn ut arealet avgrenset av grafen til f(x) = √ x * ln x, x-aksen og linjene x = 1 og x= e

Skriver først om integranden:
[tex]f(x) = x^{\frac 12} \cdot \ln(x)[/tex]

Jeg tar ikke med grensene i første omgang.

[tex]\int x^{\frac 12}\cdot \ln x \, \rm{d}x[/tex]

Dernest setter vi:

[tex]u\prime = x^{\frac 12} \,\,\, u = \int x^{\frac 12}\, \rm{dx} = \frac{x^{\frac 12 + 1}}{\frac 12 + 1} = \frac 23 x^{\frac 32} + \cancel{\rm{C}} \\ \, \\ v\prime = \frac 1x \,\,\, v = \ln x[/tex]

[tex]\int x^{\frac 12}\cdot \ln x \, \rm{d}x = \frac 23x^{\frac 32} \cdot \ln x - \frac 23 \cdot \int \left( x^{\frac 12 + \cancel 1} \cdot \frac{1}{\cancel x}\right) \rm{d}x [/tex]

[tex]\int x^{\frac 12}\cdot \ln x \, \rm{d}x = \frac 23x^{\frac 32} \cdot \ln x - \frac 23 \cdot \int x^{\frac 12}\, \rm{d}x [/tex]

[tex]\int_1^e x^{\frac 12}\cdot \ln x \, \rm{d}x = \frac 23x^{\frac 32} \cdot \ln x - \frac 23 \cdot \frac 23 x^{\frac 32} = \left[\frac 23\sqrt{x^3}\left(\ln|x| - \frac 23\right)\right]_1^e = \frac{6\sqrt{e^3}-4\sqrt{e^3}+4}{9} = \underline{\underline{\frac{2\sqrt{e^3}+4}{9}}}[/tex]

[FredrikM]

[tex]\int \ln^2 x \rm{dx} = \int 1\cdot \ln^2x \rm{dx}[/tex]

Går det ikke an å bruke at [tex]ln^2x=2lnx[/tex]?

[MatteNoob]

[tex]\int \ln^2 x \rm{dx} = \int 1\cdot \ln^2x \rm{dx}[/tex]

Går det ikke an å bruke at [tex]ln^2x=2lnx[/tex]?

Nei, her tolker du nok dessverre feil.

[tex]\ln^2x \neq 2\ln x \\ \, \\ \ln^2x = (\ln x)^2[/tex]

Mens

[tex]\ln x^2 = 2\ln x[/tex]

:]

[FredrikM]

Ups. Den har jeg gjort før. En sånn feil som jeg egentlig vet, men gjør av og til selv.

[MatteNoob]

Ups. Den har jeg gjort før. En sånn feil som jeg egentlig vet, men gjør av og til selv.

Da er vi to, hehe

[l i c]

Takk!! nå skjønte jeg det endelig!!
Så flink du er til å forklare!
Men det er en ting jeg lurer litt på (som jeg sikkert burde visst) - hvordan kom du fram til integralet av lnx?

[FredrikM]

Se n00bs første post. Man bruker delvis integral og setter u=1 og v=ln x. (vet du forresten hva ubestemt integral er?)

[l i c]

åja!! det visste jeg jo egentlig! når jeg fikk tenkt meg om litt