matematikk.net

Min søster er i Australia og trenger hjelp med matematikken, så jeg benytter meg av at forumet har TeX og hjelper henne her (forhåpentligvis til glede for andre)

Oppgave
a[sub]1[/sub] = -7 og d = 4
how many terms of series -7, -3, 1, 5 ... , must be taken for the sum to be 1025?

Her er det altså snakk om rekker. Første siffer og differansen er oppgitt, så her er det nesten bare å plotte inn.

For oversiktlighetens skyld setter vi opp en formel for
[tex]a_n = a_1 + (n-1)d = -7 + (n-1) \cdot 4 = -7 + 4n - 4 = 4n - 11[/tex]

Nå har vi altså laget en formel for [tex]a_n[/tex]

Det oppgaven spør om er altså: For hvilket tall n blir summen av denne rekken 1025?

Da setter vi først opp sumformelen:
[tex]s_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n = \frac{-7 + (4n-11)}{2} \cdot n = \frac{4n-18}{2} \cdot n = \frac{4n^2-18n}{2}[/tex]

Nå har vi en formel for [tex]s_n[/tex] (summen av de n første tallene). Vi setter
[tex]s_n = 1025 \\ \frac{4n^2-18n}{2} = 1025[/tex]
Ganger med to på begge sider.
[tex]4n^2-18n=2050 \\ 4n^2-18n-2050=0[/tex]

Dette gjenkjenner vi som en andregradslikning, og kan løses enten på kalkulator eller ved å bruke formelen for andregradslikninger:
[tex]n = \frac{-(-18) \pm \sqrt{ (-18)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2050)}}{2 \cdot 4}[/tex]

Dette gir [tex]n= 25 eller -20.5[/tex]

Vi ser bort fra de negative tallene, og svaret er derfor

[tex]n=25[/tex]

Berre eit latex tips: Gir:
[tex]x_1 = 1\,\,\, \vee \,\,\, x_2 = 5[/tex]

Therese sier:
find the sum of all positive integers less than 100 that are not dividible by 7.

Først når jeg så denne tenkte jeg - bæsj assa, er skolen i Australia så langt foran den norske - men så kom jeg på en løsningsmetode.

Det første jeg gjør er å lage en sumformel for "all integers less than 100":

[tex]a_n=n \, \, fordi \, a_n \, oker \, med \, en \, for\, hver\, n \\ s_n=\frac{ a_1 + a_n }{2} \cdot n = \frac {1 + n}{2} \cdot n = \frac 12 n^2 + \frac 12 n[/tex]

Nå er det bare å sette n=99 i denne formelen, så har jeg summen av alle heltall under 100.

Men hvordan fjerner vi alle tall som er delelige på syv? Da benytter jeg meg av syvgangen. Først lager en formel for [tex]a_{n,7}[/tex]

[tex]a_{n,7} = 7n \\ s_{n,7} = \frac 72 (1+n) \cdot n = \frac 72 (n^2 +n)[/tex]

Så nå er spørsmålet? Hvordan vet jeg hvor mange syvere jeg skal trekke fra? Da må jeg sette opp en ulikhet:

[tex]a_{n,7} < 100 \\ 7n < 100 \\ n < \frac{100}{7} \approx 14.3[/tex]

Her ser vi at n må være mindre enn 14.3, og minste heltall under 14.3 er 14.

For å løse oppgaven regner vi altså først ut summen av ALLE tall under 100, for så å trekke fra summen av [tex]a_{14,7}[/tex] (altså de fjorten første tallene i syvgangen).

Jeg betegner svar-regnestykket med b:
[tex]b_n = \frac 12 (n^2 + n) - s_{14,7} = \frac 12 (n^2 +n) - 735[/tex]

Jeg setter så n=99, og finner svaret:

[tex]b_99 = \frac 12 (99^2 + 99 ) -735=4215[/tex]

Som er det riktige svaret. (PS: Hvordan skriver jeg to strek under svaret i tex?)

[tex]\underline{\underline{Svaret}}[/tex]

the total weight of 100 packages is 10.4 tonnes. If the weights of consecutive packages differ by 2 kg, find the weights of the heaviest and the lightest packages.

Ser raskt at det handler om aritmetiske rekker.

Jeg ser også temmelig raskt at en god del informasjon er gitt. Vi vet hvor mange pakker det er, hvor mye summen er, og differansen mellom hver pakke. Vi roter fram sumformelen for en aritmetisk rekke:

[tex]s_n =\frac{(a_1 +a_n)}{2} \cdot n = \frac{ (a_1 + (a_1 + (n-1)d))}{2} \cdot n = \frac { (2a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n[/tex]

Prøver å få [tex]a_1[/tex] alene, for det er den eneste variabelen jeg ikke vet:

[tex]\frac{s_n}{n} = a_1 + \frac {(n-1)d}{2} \\ a_1 = \frac {s_n}{n} - \frac {(n-1)d}{2}[/tex]
Setter inn tall:
[tex]a_1 = \frac {10,4 \cdot 10^3}{10^2}-\frac {99 \cdot 2}{2} = \underline{\underline{5}}[/tex]

Nå har vi funnet det ene tallet spørsmålet spurte etter, og dette gir oss også muligheten til å finne det andre tallet. Nå setter vi opp en formel for

[tex]a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)2 = 3+2n[/tex]

Nå er det bare å sette n=100 for å finne hvor mye den siste pakken veier:

[tex]a_{100}=3+(2*100)=\underline{\underline{203}}[/tex]

Og vips.